MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Análise Funcional

  

Veja a seguir os seguintes conteúdos já disponíveis. Para tomar conhecimento da lista completa dos conteúdos vistos nesta disciplina, clique no ícone "PROGRAMA" acima. OBSERVAÇÃO: Alguns dos assuntos estão divididos em partes as quais podem ser acessadas clicando nos links abaixo.

1a) Ementa

Conceitos Básicos e Exemplos de Espaços Vetoriais Normados, Espaços de Banach, Espaços de Hilbert.

Transformações Lineares Contínuas. Teoremas de Hahn Banach, da Aplicação Aberta, do

Gráfico Fechado, de Banach-Steinhaus. Dualidade e Reflexividade. Subespaços Complementares.

Teoremas da Representação de Riesz, da Projeção. Sistemas Ortonormais. Operadore Auto-Adjuntos.

 

1b) Ementa (Alternativa) 

Exemplos de Espaços Vetoriais de Dimensão Infinita / Equivalência entre Normas e Compacidade / Espaços de Hilbert: L1 e L2 / Projeção em um Convexo Fechado e Dualidade / Bases Ortonormais e Caracterização de Espaços de Hilbert / Séries de Fourier / Espaços Métricos Completos / Espaços de Banach: Teorema de Baire e Conseqüências / Dualidade: Teorema de Hahn-Banach / Topologia / Compacidade / Topologia Fraca / Caracterização de Espaços Reflexivos / Operadores Compactos e Teorema Espectral / Espaços de Sobolev sobre R / Formulação de Problemas de Valores de Contorno em Dimensão 1 / Formulação de Problemas de Valor Inicial em uma Dimensão Espacial.

 

 

2.Programa

2.1) Introdução / Espaços Vetoriais Normados / Espaçcos de Banach / Espaços de Hilbert: Conceito Básicos e Exemplos.

 

2.2) Operadores Lineares / Operadores Lineares Limitados e Exemplos / Série de Neumann /

 

2.3) Funcionais Lineares / Espaço Dual de um Espaço Vetorial Normado / Teorema de Hahn Banach / Espacos Reflexivos /

       Convergência Fraca / Dimensão.

 

2.4) Teoremas Clássicos / Teorema da Aplicação Aberta / Teorema do Gráfico Fechado / Teorema de Banach-Steinhaus

       Teorema da Representação de Riesz /

 

2.5) Projeções / Subespaços Complementares / Convexos Fechados / Projeções /

 

2.6) Sistemas Ortonormais / Conjuntos Ortogonais / Teorema da Projeção / Bases /

 

2.7) Operadores Adjuntos / Adjunto de um Operador / Operadores Auto-Adjuntos /

 

 

 

 

 

 

3.Bibliografia

 

  • Simonns, G. F., Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw Hill, (1963).

 

  • Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis, John Wiley & Sons, (1978).

 

  • Taylor, A. E., Introduction to Functional Analysis, John Wiley & Sons, (1958).

 

  • Brezis, H., Analyse Fonctionelle: Theorie et Applications, Masson, (1983).

 

  • Lax, P. D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, (2002).

 

  • Young, N., An Introduction to Hilbert Space, Cambridge University Press, (2004).

 

  • Reed, M. & Simon, B., Methods of Modern Mathematical Physics; Vol. 1 – Function Analysis, Academic Press, New York and London, 1972.

Uma Digressão sobre a Análise Funcional

A análise funcional é o ramo da Matemática Pura, (Matemática Pura) e mais especificamente da Análise, que trata do estudo de Espaços de Funções. Tem suas raízes históricas no estudo de Transformações, tais como a Transformada de Fourier, e no estudo de Equações Diferenciais e Equações Integrais. A palavra "Funcional" remonta ao Cálculo de Variações (ou Cálculo Variacional), implicando uma função cujo argumento é uma função. Seu uso em geral é atribuído a Volterra. [1] [2]

 

Um grande impulso para o avanço da análise funcional durante o século XX foi a modelagem, devida a John von Neumann, da Mecânica Quântica em Espaços de Hilbert.

 

Entre os Teoremas importantes da Análise Funcional, estão:

 

 

 

Índice 

  • 1 Relação com outras áreas da matemática

  • 2 Referências

  • 3 Ver também

  • 4 Bibliografia

 

 

 

Relação com outras Áreas da Matemática

A análise funcional faz uso de muitos conceitos de Álgebra Linear, e pode ser considerada até certo ponto como o estudo de espaços normados de dimensão infinita. Durante o século XX diversas técnicas da topologia foram aplicadas no estudo da análise funcional, principalmente a teoria do grau. Um tópico da análise funcional que possui forte relação com a topologia é o estudo dos espaços vetoriais localmente convexos, onde não se admite necessariamente a existência de uma norma definindo uma topologia sobre os espaços vetoriais estudados. A partir da segunda metade do século XX, graças aos trabalhos de von Neumann, Naimark e Gelfand, a análise funcional tem sido utilizada no estudo de álgebras não-comutativas e da K-teoria algébrica.

 

 

Referências

  • Análise Funcional, José Ferreira Alves - (Livro Completo 106 Páginas) - Arquivo no Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo=467kb.

  • César R. De Oliveira, Universidade Federal de Sao Carlos, Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Brazil), Introdução à análise funcional; IMPA, 2001 OCLC 49254749

Bibliografia

  1. Chaim Samuel Hönig, Análise funcional e o problema de Sturm-Liouville; Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Conselho Nacional de Pesquisas, 1971.

  2. Luis Adauto Medeiros, Tópicos de análise funcional; Instituto de Matemática. Universidade Federal de Pernambuco.

  3. Chaim Samuel Hönig, Análise funcional e aplicações; São Paulo, Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, 1970.

  4. Klaus Floret, Algumas idéias básicas da análise funcional linear; Sociedade Paranaense de Matemática.

  5. Semana de Análise Funcional não Linear, Atas de Análise Funcional não Linear: Instituto de Matemática e Estatística da USP.; Sociedade Brasileira de Matemática, 1974.

  6. Jaime Lesmes, Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Brazil), Seminário de análise funcional; Instituto de Matemática Aplicada.

Leitura Complementar: Artigos ou outros...

 

01) ALGUNS ASPECTOS HISTÓRICOS SOBRE O DESENVOLVIMENTO DA ANÁLISE MATEMÁTICA NO BRASIL - Arquivo no Formato ".PDF"

02) Análise Funcional - Topologias Fraca e Fraca: Lista de Exercício 5 - Arquivo no Formato ".PDF"

03) Análise Funcional - Notas de Aula - Arquivo no Formato ".PDF"

04) SOBRE UMA CLASSE DE PROBLEMAS HIPERBÓLICOS DEGENERADOS - Arquivo no Formato ".PDF"

05) Espacos de Banach - Capítulo 2 - Arquivo no Formato ".PDF"

06) O Teorema de Banach-Alaoglu-Boubarki - Arquivo no Formato ".PDF"

07) Tópicos de Análise Funcional - Arquivo no Formato ".PDF"

08) Análise Funcional - Quarta Lista de Exercícios, período 2009.2 - Arquivo no Formato ".PDF"

09) Análise Funcional - Lista de Exercícios 6 - Arquivo no Formato ".PDF"

10) Análise Funcional, José Ferreira Alves

     (LIVRO Completo, Páginas no Total = 106) - Arquivo no Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo = 467kb.

11) ANÁLISE FUNCIONAL - LISTA DE EXERCÍCIOS 03 - 2011.1 - Arquivo no Formato ".PDF"

12) Espaçosos Vetoriais Topológicos - Dissertação: Wasthenny Vasconcelos Cavalcante - Arquivo no Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo =

      742kb.

 

 

 

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