MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Geometria Diferencial

Veja a seguir os seguintes conteúdos já disponíveis. Para tomar conhecimento da lista completa dos conteúdos vistos nesta disciplina, clique no ícone "PROGRAMA" acima. OBSERVAÇÃO: Alguns dos assuntos estão divididos em partes as quais podem ser acessadas clicando nos links abaixo.

ESTUDO DAS SUPERFÍCIES NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL (R³)

1) Superfície Parametrizada Regular: Definição / Exemplos /

1a) Superfícies de Revolução / Definição / Exemplos: a) Catenóide /

2) Interseção de Superfícies Parametrizadas Regulares: Catenóide e Catenóide / Cilindro e Cilindro / Cilindro e Esfera /

Cilindro e Helicóide / Cilindro e Parabolóide / Concha e Superfície Polinomial / Cone e Cilindro / Cone e Toro /

Superfícies Racionais / Faixa de Möbius e Plano /

3) Isometria e Translação - e o denominado Movimento Rígido: Introdução / Exemplos / Contra-Exemplos /

4) Teorema de Gauss-Bonnet: A relação entre Curvatura Gaussiana (Conceito da Geometria Diferencial) e Característica de Euler (Conceito da TOPOLOGIA) ou seja - Relação entre TOPOLOGIA e GEOMETRIA DIFERENCIAL estabelecida pelo "elegante" Teorema de Gauss-Bonnet /

OBSERVAÇÃO: Arquivo Formato .

4a) Carcaterística de Euler e os Poliedros de Platão / Carcaterística de Euler de Superfícies (Definição dentro da Área da Topologia) / A fronteira do Conhecimento em Geometria Diferencial é mesmo o Teorema de Gauss-Bonnet? A Resposta é NÃO: Temos o Estudo dos Chamados Fibrados Tangentes /

5) Difiomorfirmos: Definição / Exemplos /

6) Superfícies de Curvatura Negativa: Introdução / Exemplos / Triângulos em uma Superfície de Curvatura Negativa: Soma de seus Ângulos Internos é MENOR do que 180o (graus) /

7) Superfícies de Curvatura Positiva: Introdução / Exemplos / Triângulos em uma Superfície de Curvatura Positiva: Soma de seus Ângulos Internos é MAIOR do que 180o (graus) /

8) Superfícies Não_Orientada:

8a) Superfície ou Faixa de Möbius - Exemplo de Superfície Parametrizada Regular Não-Orientada ou que

não possui LADO (outros ou a maioria diz ter somente um lado): Triedro de Frenet - Vetor Tangente; Vetor Binormal; e Vetor Normal /

8b) A Construção da Superfície de Möbius; A Primeira Faixa Möbius segundo desenho ou concepção de Möbius; Propriedades relacionadas ao Corte de tal Superfície; Paradoxos envolvendo esta Superfície; e etc. /

9) Curvaturas Média e Curvatura Mínima: Introdução/ Pontos Umbílicos / Exemplo de Superfície de Curvatura Mínima Nula: Superfície....Bolhas de Sabão Descoberta por um aluno do IMPA (Rio de janeiro) / outros exemplos de Sup. de Curvatura Mínima e/ou Média Nula /

ESTUDO DAS CURVAS NO PLANO (R²) E NO ESPAÇO TRIDIM. (R³)

1) Curvas Parametrizadas Regulares: Introdução / Exemplos / Contra-Exemplo /

1a) Curvatura e Torção / Círculo Osculador /

Vejamos o seguinte problema proposto no Livro de "Introdução à Geometria Diferencial". Keti Tenenblat - 2ª Edição Revisada (Página II-27):

Exercício Proposto (6): Seja α(s), s ∈ R (Conjunto dos Números Reais) uma cuva Parametrizada pelo Comprimento de Arco. Prove que se a Curvatura k(s) é uma função estritamente monótona, então α(s) não tem auto-intersecção - isto é, para quaisquer s1 e s2, com s1≠s2, então α(s1) ≠ α(s1).

OBSERVAÇÃO: Em 1990, no IMPA (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, no Rio de Janeiro-TJ) este exercício foi colocado por nós em uma aula de Geometria Diferencial ministrada pelo então Prof. Jonas Gomes. A nosso pedido e citando a fonte Keti Tenenblat (Doutora pelo IMPA), ninguém deu a solução numa Turma de mais de 20 alunos. Relembrando isto é que agora propomos que alguém nos dê a solução para o problema e ficaremos imensamente agradecidos!

2) Geodésicas: Introdução (Velocidade e Aceleração em uma Geodésica) / Exemplos / Geodésicas Obtidas por Isometrias /

3) Curvas Cíclicas: Cicloide / Epicicloide / Hipocicloide /

4) Curvatura de Gauss ou Curvatura Gaussiana /

5) Isometria / Introdução /

UM DESAFIO

Logo, disponibilizaremos o Programa Executável (um arquivo de extensão “.exe”) acessado no Botão-Menu denominado "P_executáveis”: Programa Executável! Este Programa possibilitará a obtenção da interseção de quaisquer Superfícies Parametrizadas Regulares (uma Função F: R² em R³ dada por F(u,v)=(x(u,v);y(u,v) e z(u,v)) a qual possui Derivada em todo ponto, isto é, que possui Plano Tangente nesse ponto.

Geometria Diferencial

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Geometria diferencial é o estudo da geometria usando o cálculo. Esses campos são adjacentes, e têm muitas aplicações em física, notavelmente na teoria da relatividade, e também em cartografia.

História

A Geometria Diferencial, originada da junção do Cálculo com a Geometria, nasceu, de certo modo, como uma ciência aplicada, principalmente em questões originadas da cartografia, de onde herdou parte de sua terminologia inicial. Posteriormente passou a ser de grande utilidade na Astronomia e na Engenharia. Embora o Cálculo fosse suficiente para o entendimento e a aplicação das leis de Newton, não o foi para a Teoria da Relatividade que nasceu sobre os alicerces do conhecimento estabelecido pela Geometria Diferencial. A interação entre a Geometria Diferencial e a Análise tem sido fator de desenvolvimento de ambas as disciplinas. No espírito da Geometria Analítica de Descartes, questões profundas de Análise têm sido resolvidas através da Geometria e vice-versa. Todo um capítulo, extremamente atual e de grande potencial para aplicações, das equações diferenciais parciais não-lineares, foi desenvolvido sob a inspiração de questões geométricas. A computação gráfica esta começando a demonstrar que a

Resultado de Programas (SoftWare)

de Modelagem Geométrica.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Modelagem

Aqui ao lado está se falando na disponibilidade de alguns recursos que na época em 2003 em que Nossa Revista Ensino&Informação foi lançada e que tínhamos um SERVIDOR prório e que a desativamos até 2006.

Em 2006 retomamos Nossa Revista e a Hospedamos no Site "WIX" e os programas EXECUTÁVEIS estavam no Site MINHATECA.COM o qual mudou sua Política não havendo mais a possibilidade de acessarmos os Arquivos lá dispolnibilizados. Estes recusrsos como o "DERIVE" hoje estão OBSOLETOS!

Hoje (2018), podemos contar com Sofwares mais Poderosos como o GeoGebra 2D e 3D que vocês podem obtê-los na Internet. GeoGebra, graças aos avanços da Computação Gráfica e/ou Modelagem Matemmática nos possibilita fazermos quase tudo em exemplos ilustrativos e resolução (silulação numérica) com funções e tudo mais em Matemática no Caso.

Geometria Diferencial estará proximamente presente e acessível para um público bem mais amplo, quer na área científica, quer na área empresarial, fornecendo a interface gráfica adequada à apresentação de resultados, ao desenvolvimento de novas tecnologias e ao planejamento de novos produtos.

Intrínseco versus extrínseco

Inicialmente e até a metade do século XIX, a geometria diferencial era vista de uma maneria extrínseca: curvas, superfícies eram consideradas dentro de um espaço euclidiano de dimensão maior (um plano em um espaço tridimensional, por exemplo). Começando com o trabalho de Riemann, a maneira intrínseca de se tratar a geometria foi desenvolvida, na qual não se pode 'sair' do objeto geométrico.

A forma intrínseca é mais flexível, por exemplo na relatividade onde o espaço-tempo não podem ser naturalmente tratados extrinsecamente. É mais difícil de se definir curvatura do ponto de vista intrínseco, e outras estruturas como conexão, então há um preço a ser pago.

Essas duas maneiras diferentes de tratamento podem ser conciliadas, por exemplo a geometria extrínseca pode ser considerada como uma estrutura adicional à intrínseca.

UM DESAFIO