MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Geometria Diferencial

Isometria

Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura geométrica, mantém as distâncias entre pontos. Ou seja, os segmentos da figura transformada são geometricamente iguais aos da figura original, podendo variar a direção e o sentido. Os ângulos mantêm também a sua amplitude. Existe isometrias simples e isometrias compostas. As isometrias simples podem ser rotações, translações e reflexões. Nas compostas, por exemplo, podemos fazer uma translação seguida de uma rotação!

Sem nos apercebermos, as isometrias aparecem constantemente no nosso dia a dia. A borboleta é um exemplo da simetria axial. As rodas gigantes são também exemplos de uma rotação. Já em tempos antigos as isometrias eram utilizadas. A arte, a pintura, a cerâmica e a tecelagem tem padrões que acabam por ser um exemplo de isometrias.

Na cerâmica chinesa pode ver-se a presença da utilização de transformações geométricas na sua decoração. Já na cerâmica marajoara, por exemplo, a decoração era normalmente feita através de símbolos geométricos e padrões simétricos.

O geómetra alemão Felix Klein no seu célebre programa de Erlangen (1872) sugeriu que a "simetria" (conceito que, em português, poderia ser mais fielmente traduzido por "isometria") seria o princípio organizador e unificador da geometria (na altura utilizava-se o termo "geometrias", no plural). Este é um princípio mais abrangente que axiomático. Inicialmente abriu caminho a investigações sobre grupos relacionados com as "geometrias"). Em consequência, estabeleceu-se o termo "transformação geométrica" (aspecto da Nova Matemática, mas muito controverso na prática matemática actual). Este conceito é, hoje, aplicado, sob várias formas, como um modelo aplicado na resolução de vários problemas.

AISOMETRIA (ISO - igual, METRIA - medida) é uma transformação geométrica que transforma uma figura noutra figura geometricamente igual, ou seja, não altera o comprimento dos segmentos da figura nem a amplitude dos seus ângulos. Assim sendo, a única coisa que é alterada numa isometria é a posição da figura. Existem 4 tipos de isometrias: as translações, as rotações, as reflexões (em relação a um eixo ou a um ponto) e a reflexão deslizante.

Explicando a Translação:

A translação é uma isometria que se caracteriza pelo deslocamento de uma figura de acordo com uma direção, sentido e comprimento. Todos os pontos da figura original são deslocadas da mesma forma e todos os segmentos de reta que formam a figura original são transformados em segmentos de reta paralelos e com o mesmo comprimento.

Explicando a Rotação:

Uma figura tem simetria de rotação (ou rotacional) se coincide com ela própria, mais do que uma vez, durante uma volta completa. Nos polígonos regulares, o número de simetrias de rotação é igual ao número de lados do polígono.

Explicando a Reflexão:

Uma figura tem simetria de reflexão (ou reflexão axial) se admite pelo menos um eixo de simetria. Nos polígonos regulares, o número de simetrias de reflexão é igual ao número de lados do polígono.

Composição de Isometrias: Exemplo Reflexão seguida de uma Translação:

Uma Reflexão composta com uma Translação é uma transformação geométrica, que consiste numa reflexão segundo um determinado eixo, seguida por uma translação ao longo desse mesmo eixo. Ou em alternativa, primeiro ocorre a translação seguida depois por uma reflexão de eixo paralelo à direção da translação

Isometria (Geometria de Riemann)

No estudo da Geometria de Riemann, em matemática, uma isometria local a partir de uma (pseudo-)variedade de Riemann em relação a outra é um mapa que regride o tensor métrico na segunda variedade para o tensor métrico na primeira. Quando tal mapa é também um Difeomorfismo, esse mapa é chamado de uma isometria (ou isomorfismo isométrico), e fornece uma noção de isomorfismo ("trata-se do mesmo") na categoria Rm de variedades de Riemann.[1][2][3]

Referências

Lee, Jeffrey M. (2000). Differential Geometry, Analysis and Physics Arquivado em 3 de março de 2016, no Wayback Machine.. uap.unnes.ac.id pg.213.
Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine; Riemannian Geometry; Springer Science & Business Media, 2004. pg 54.
Wilhelm Klingenberg; Riemannian Geometry; Walter de Gruyter, 1995. pg 76