Disciplina: Geometria Diferencial

MATEMÁTICA

Este espaço está destinado muito que óbvio a disponibilização de VÍDEOS acrescentando mais dinamismo ao Ensino das Disciplinas. São vídeos de Autores diversos desde os elaborados pela ensinoeinformacao.com ou vídeos postados na internet. Estes provenientes da Internet terão seu conteúdo avaliado (na forma e no conteúdo) pela ensinoeinformacao.com condição “sine qua non” para que os mesmos possam ser publicados, por meio de “Links”, sempre respeitando o direito de autoria – citação da fonte bem como divulgação do nome do Autor.

Em Breve, aqui estaremos fazendo uma explanação do que aborda estas Excelentes Vídeo Aulas do Prof. Fernando Codá Marques - IMPA as quais estaremos Compartilhando em Nossa Revista Ensino&Informação.

Vídeo Aulas

I - Vídeos do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada

2013 - Geometria Diferencial

Pré-requisitos: Análise no Rn, Teorema Fundamental das EDO (Equações Diferenciais Ordinárias)

 

Curvas planas; desigualdade isoperimétrica. Curvas no espaço; curvatura e torção, triedro de Frenet, teorema de existência e unicidade de curvas. Superfícies; no R3. Primeira forma fundamental, área. Aplicação normal de Gauss; direções principais, curvatura de Gauss e curvatura média, linhas de curvatura. Geometria intrínseca, exemplos clássicos de superfícies. Derivada covariante, o teorema egregium; curvatura geodésica; equações das geodésicas, cálculo de geodésicas em superfícies; a aplicação exponencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Noções de variedades diferenciáveis. Outros tópicos.

 

Referências:
ARAUJO. P. V. - Geometria Diferencial. Rio de Janeiro, IMPA, 1998.
CARMO, M. - Differential Geometry of Curves and Surfaces. Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1976.
MONTIEL, S. e ROS, A. – Curves and Surfaces, Graduate Studies in Mathematics, vol. 69, AMS, 2005.
SPIVAK, M. - A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol.3, Berkeley, Publish or Perish, 1979.

Professor: Fernando Codá

Prof. Fernando Codá Marques - IMPA (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada) - Rio de Janeiro-RJ

ensinoeinformacao - Demonstração por Indução - Introdução ao Princípio de Indução

 

Publicado em 24 de set de 2015

"O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a Demonstração de fatos referentes aos Números Naturais. Por isso, deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro do arcabouço da Matemática. Entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais." Prof.Elon Lages Lima.
Apresentamos a seguir uma breve exposição sobre os Números Naturais, onde o Princípio da Indução se insere adequadamente e mostra sua força teórica antes de ser utilizado nos Exemplos Práticos propostos nas Vídeo Aulas que se sucedem!

 

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Demonstração por Indução (Ensino&Informação)

ensinoeinformacao - Demonstração por Indução - Exemplo 01

 

Publicado em 24 de set de 2015

Um Contra-Exemplo para mostrar que nem sempre uma Propriedade P(n) é válida para todo n ∈ N = {1, 2, 3, 4, ....} Conjunto dos Números Naturais. OBSERVAÇÃO: Há na Literatura autores que Consideram o ZERO como um Número Natural e assim teríamos N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, o que não mudaria em nada o Princípio de Indução e tudo mais relacionado a este Conjunto Numérico! Mais ainda, ou se PROVA que a propriedade Q(n) é válida para todo n ∈ N; ou é preciso de um Contra-Exemplo para mostrar que Q(n) não é válida para certo m ∈ N. Mas se não puder Demonstrar por Indução, por alguma razão, que uma Propriedade é válida para todo n ∈ N, isto não significa que ela venha deixar de ser válida para todo n ∈ N.

 

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ensinoeinformacao - Demonstração por Indução - Exemplo 02

 

Publicado em 25 de set de 2015

Neste exemplo pode ser visto a Demonstração por Indução para mostrar a validade de uma Expressão Matemática para Determinação da Soma dos n Primeiros Termos de uma Progressão Geométrica Finita.

 

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ensinoeinformacao - Geometria Diferencial - Prof. Fernando Codá Marques - Aula 23

 

Publicado em 20 de Jun de 2013

Ensino&Informação: Excelente Vídeo Aula do Prof. Fernando Codá Marques a qual estamos Compartilhando em Nosso Canal.

 

Estudo dos Fibrados; Conexões; Cohomologia de Rhan; Classes Características (de Chern)...
Esta Vídeo Aula trata especificamente de dar um Exemplo da Primeira Classe Característica de Chern para uma Variedade M² de Grau 2 Superfície Fechada e Orientada Contida em R³. Depois é abordado o Teorema de Gauss-Bonnet Generalizado.

 

Excelente Vídeo Aula do Prof. Fernando Codá Marques - IMPA

 

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enoeinformacao - Geometria Diferencial - Prof. Fernando Codá Marques - Aula 02

 

Publicado em 26 de Mar de 2013

Ensino&Informação: Esta Vídeo Aula 02 trata basicamente da Curvatura de uma Superfície Regular no R³. Prestar atenção na Topologia da Superfície e, também, nas Medidas nesta Superfície sob, agora, o ponto de vista da Geometria isto é, a Primeira Forma Fundamental onde a atenção é voltada ao Plano Tangente: Comprimento de uma Curva e trabalhar com a Área de Objetos (Figuras) contidos na Superfície... Taxa de Variação do Vetor Normal (do Plano Tangente) à Superfície... Aplicação Normal de Gauss da Superfície Orientável... Curvaturas Principais... Segunda Forma Fundamental que dá então a Curvatura da Superfície.

 

Excelente Vídeo Aula do Prof. Fernando Codá Marques - IMPA

 

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ensinoeinformacao - Geometria Diferencial - Prof. Fernando Codá Marques - Aula 01

 

Publicado em 21 de mar de 2013

Ensino&Informação: A primeira parte do Curso - Aula 01 diz respeito especificamente a um curso tradicional sobre às Curvas e Superfícies Parametrizadas Regulares onde o objetivo é chegar ao Teorema de Gauss-Bonnet para Superfícies o qual relaciona de forma impressionante dois conceitos (Definições): Curvatura um Conceito da Geometria Diferencial e Característica de Euler um Conceito da Topologia. Esta primeira parte do Curso diz respeito a objetos que têm Dimensões 1 e 2. É assumido que os alunos já tiveram visto Análise no Rn com conhecimentos adquiridos sobre Curvas e Superfícies. Referência Livro Texto do Prof. Manfredo Perdigão do Carmo (Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies: Versões Português e Inglês). O interesse aqui é abordar o conceito de Curvatura de uma Curva Plana e mais a frente colocar que dado um ponto e a curvatura de uma curva ela fica bem definida e se diferencia de uma outra nestas condições a menos de uma Isometria (um movimento Rígido) e estender este conhecimento para a segunda parte do Curso de modo mais Abstrato com os Fibrados...

 

Excelente Vídeo Aula do Prof. Fernando Codá Marques - IMPA

 

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ensinoeinformacao -  Cardinalidade: Hipótese do Contínuo

 

Publicado em 04 de nov de 2016

Em breve estaremos fazendo uma explanação detalhada sobre esta Vídeo Aula. Aguardem!

 

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Cardinalidade: Hipótese do Contínuo

ensinoeinformacao - Teorema de Hopf - Uma Palestra - Prof. Manfredo Perdigão Do Carmo - IMPA

 

Publicado em o7 de Mai de 2010

Teorema de Hopf - Uma Palestra

 

Uma Excelente Palestra do Professor Manfredo Perdigão do Carmo na sua Área de Interesse a Geometria Diferencial sobre o Teorema de Hopf.

 

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IMPA - Geometria Diferencial - Teorema de Hopf - Uma Palestra

Ensino&Informação: Domínio, Imagem e Gráfico de Função de Rn em  R - Exercício 01 f:X⊆R²→R

ensinoeinformacao - Domínio, Imagem e Gráfico de Função de Rn em  R - Exercício 01  f:X⊆R²→R

 

Publicado em 21 de Jun de 2018

ERRATA: Na tela ao final do Vídeo fizemos um Comentário a parte. E aí colocamos que a função f atinge seu valor Máximo no Ponto (0,0,0). Vamos Corrigir: Este Ponto é (0,0), ou seja f(x,) tem seu Máximo Global no Ponto em que x=o e y=0, isto é, no Ponto (0,0) de R².

 

O Comentário na Íntegra e agora corrigido é:

Só para acrescentar: Nossa função f(𝒙,𝒚)= √(𝟐𝟓−𝒙²−𝒚²) é Contínua em X um Conjunto Compacto (Fechado e Limitado) de R², então ela assume Máximos e Mínimos em X. Como o Gráfico de f é Côncavo para baixo então o Valor Mínimo igual a ZERO só poderia mesmo estar na Fronteira de X (Círculo de Raio 5 e Centro em (0,0,0)).

 

O Correto é: E o Valor Máximo igual a 5 de f é atingido no Interior de X no Ponto (0,0) de R².

 

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ensinoeinformacao - GEOMETRIA DIFERENCIAL – Curvas Parametrizadas no Plano R² - Definição e Exemplos: Aula 01

 

Publicado em 22 de Jun de 2018

Esta Vídeo Aula está direcionada aos Alunos de Graduação!

 

ERRATA: No instante 21:05 minutos nós escrevemos (xo,yo) + t(xo,yo,). CORREÇÃO: O certo é (xo,yo) + t(a,b,). 


OBSERVAÇÃO: Estas Vídeos Aulas deverão fazer parte do que pretendemos que seja um CURSO em Nível de Graduação sobre Curvas Parametrizadas. Primeiro no Plano e depois em R³. Então, estejam atentos as novas Postagem dos Vídeos... Já temos até agora as Aulas 01 e 02.

 

OBSERVAÇÃ: Embora tenhamos falado no Gráfico da Curva em R², o Correto no contexto da Geometria Diferencial ou mesmo Funções Vetoriais é falar no TRAÇO da Curva. E este assunto será tratado na Aula 02 a seguir onde veremos que embora uma Curva tenha DUAS Parametrizações distintas, elas podem ter o mesmo TRAÇO!

 

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Ensino&Informação:

GEOMETRIA DIFERENCIAL – Curvas Parametrizadas no Plano R² - Definição e Exemplos: Aula 01

Ensino&Informação: Uma Série de 01 até 23 Vídeo Aulas publicadas em 2013 – IMPA. Estávamos guardando conosco para publicação num momento oportuno.

Observação: As Vídeo Aulas 01, 02, e 23 e nossos Comentários adicionados já faz anos... 2015 foram publicadas no Nosso Canal!

Ensino&Informação: Uma Série de 01 até 23 Vídeo Aulas publicadas em 2013 – IMPA. Estávamos guardando conosco para publicação num momento oportuno.

Observação: As Vídeo Aulas 01, 02, e 23 e nossos Comentários adicionados já faz anos... 2015 foram publicadas no Nosso Canal!

 

Vocês podem solicitar por E-mail a Vídeo Aula que desejar e nós publicaremos se o IMPA a excluiu:

altamiraraldi@hotmail.com

ensinoeinformacao - Curvas Parametrizadas no Plano R² - Imagem da Função e Traço da Curva: Aula 02

 

Publicado em 07 de Ago de 2018

(Aula 02) É dado exemplo da Parametrização de uma Circunferência: uma Circunferência com o Parâmetro assumindo valores no Intervalo [0, 2pi] que tem uma Trajetória de uma volta completa no sentido dos ponteiros do relógio... e a mesma Parametrização desta Circunferência de mesmo Centro e mesmo Raio, mas que o Parâmetro varia no Intervalo [0, 4pi]... a primeira dá uma volta e a segunda dá duas voltas completas, mas os Traços das duas Curvas são iguais (uma Circunferência)!

 

Estas Vídeos Aulas deverão fazer parte do que pretendemos que seja um CURSO em Nível de Graduação sobre Curvas Parametrizadas. Para Geometria Diferencial e/ou Cálculo Vetorial. Mas existe uma Distinção quanto como é visto uma Curva nestas duas Disciplinas e Áreas. E nós iremos esclarecer isto... Existirá um momento deste Curso onde separaremos a Vídeos Aulas: umas irão ser direcionadas ao Cálculo Vetorial especificamente e outra direcionadas à Geometria Diferencial... Isto já está sendo colocado para vocês ao logo destas primeira Vídeo. Então, estejam atentos as novas Postagem dos Vídeos... Já temos até agora as Aulas 01, 02 e 03.

 

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Ensino&Informação:

Curvas Parametrizadas no Plano R² - Imagem da Função e Traço da Curva: Aula 02

ensinoeinformacao CURVA PARAMETRIZADA DIFERENCIÁVEL - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - Aula 03

 

Publicado em 17 de Out de 2019

(Aula 03) - Curva Parametrizada Diferenciável - Definição e Exemplos.


Cabe ressaltar que mencionamos o VETOR TANGENTE À CURVA ... e numa outra Vídeo Aula onde Definiremos Formalmente a DERIVADA (ou DEFERENCIAL) de uma Curva que justamente será o Vetor Tangente!

Esta Vídeo Aula está direcionada aos Alunos de Graduação!

 

OBSERVAÇÃO: Estas Vídeos Aulas deverão fazer parte do que pretendemos que seja um CURSO em Nível de Graduação sobre Curvas Parametrizadas. Primeiro no Plano e depois em R³. Então, estejam atentos as novas Postagem dos Vídeos... Já temos até agora as Aulas 01, 02, e 03.

 

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Ensino&Informação:

CURVA PARAMETRIZADA DIFERENCIÁVEL - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - Aula 03

ensinoeinformacao - PRODUTO ESCALAR É UM NÚMERO OU UM VETOR ?  É UM CASO PARTICULAR DE PRODUTO INTERNO !

 

Publicado em 23 de Out de 2019

Exemplo de Produto Escalar são dados considerando Vetores em R (Reta); em R² (no Plano) ; e em R³ (no Espaço Tridimensional). Consideramos os Valores do Produto Escalar entre os  vetores u e v, onde procuramos relacionar este Valor do Produto Escalar com o Ângulo entre u e v dados!

 

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PRODUTO ESCALAR É UM NÚMERO OU UM VETOR ?  É UM CASO PARTICULAR DE PRODUTO INTERNO !

Pré-requisito para o estudo de Geometria Diferencial!

ensinoeinformacao - REPARAMETRIZAÇÃO DE UMA CURVA - Aula 04

 

Publicado em 25 de Out de 2019

Como reparametrizar uma Curva "alpha" dada, obtendo uma nova Curva "Beta" com mesmo Traço?
Como retornar à Curva Original "alpha" a partir da Reparametrização "Beta"?

 

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REPARAMETRIZAÇÃO DE UMA CURVA - Aula 04

ensinoeinformacao - GEOMETRIA DIFERENCIAL - DERIVADA e VETOR TANGENTE - CURVA PLANA

 

Publicado em 11 de nOV de 2019

Definição da Derivada de uma Função α(to) que representa uma Curva Parametrizada Diferenciável de Classe C∞ e seu Significado Geométrico. Fizemos questão de frisar que a Derivada é no Ponto "to" e não no ponto α(to) - um exemplo prático é dado para ilustrar esta distinção muito importante!

 

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GEOMETRIA DIFERENCIAL - DERIVADA e VETOR TANGENTE - CURVA PLANA

ensinoeinformacao - VETORES ORTOGONAIS e PRODUTO ESCALAR

 

Publicado em 09 de Nov de 2019

Mostraremos neste Vídeo a Relação entre o valor do Produto Escalar entre dois vetores u e v dados e a questão destes vetores serem ou não Ortogonais! para isso, usaremos apenas as Normas de u, de v e de u+v. 
OBSERVAÇÃO: A determinação do Ângulo entre dois Vetores, mais geralmente falando, usando o Produto Escalar é diferente ... fica para uma outra Vídeo Aulas ... Aguardem!

 

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VETORES ORTOGONAIS e PRODUTO ESCALAR

Pré-requisito para o estudo de Geometria Diferencial!

ensinoeinformacao - GEOMETRIA DIFERENCIAL - CURVA PARAMETRIZADA REGULAR - Parte 01

 

Publicado em 13 de nOV de 2019

Nesta Vídeo Aula, dando continuidade ao Curso que pretendemos fazer, estaremos apresentando mais uma Exigência com respeito a uma Curva Parametrizada (diferenciável de Classe C∞). É exigido que a Curva seja Regular!

 

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GEOMETRIA DIFERENCIAL - CURVA PARAMETRIZADA REGULAR - Parte 01

ensinoeinformacaoDimensions Chapter 1 - Dimensão Capítulo 1 - Projeção Estereográfica (Stereographic Projection)

 

Publicado em 25 de Jan de 2020

Mostra numa Animação o efeito da Projeção Estereográfica como uma Transformação Conforme (a que Preserva ângulos: um Invariante!) considerando a Projeção não somente em um Plano Cartesiano o R², mas sim no Plano Complexo (números Complexos). Chapter 1 of the Dimensions series. See http://www.dimensions-math.org for more information. Press the 'CC' button for subtitles.


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Dimensions Chapter  1 - Dimensão Capítulo 1 - Projeção Estereográfica (Stereographic Projection)

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ensinoeinformacao - POLIEDROS DE PLATÃO - CARACTERÍSTICA DE EULER: Qual é a Relação ?

 

Publicado em 13 de nOV de 2019

A Característica de Euler é um Número que está relacionado com a Curvatura Gaussiana das Superfícies Fechadas (Compactas) através do Teorema de Gauss-Bonnet que Expressa a Integral da Curvatura sobre uma Superfície S: ∫∫K(S) sendo igual a 2.π.χ(S), isto é, ∫∫K(S) = 2.π.χ(S), onde K(S) é a Curvatura Gaussiana da Superfície S e χ(S) é a Característica de Euler da Superfície. Exemplo: A Esfera tem K(S) = 1 (Constante) e χ(S) = 2. Podemos ver a Relação V + F - A = 2 onde este número 2 é a Característica de Euler e V é o número de Vértices; F é o número de Faces; e A é o número de Arestas para todo Poliedro de Platão. Inflando qualquer um dos Poliedros de Platão obtemos uma Esfera. Assim, os Poliedros são Homeomorfos a qualquer um destes Poliedros ... Uma Deformação Contínua onde admite-se Cortar a Superfície!

 

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POLIEDROS DE PLATÃO - CARACTERÍSTICA DE EULER: Qual é a Relação ?

ensinoeinformacaoGeometria Diferencial = Topologia ...Esta é a Conclusão - Prof Fernando Codá Marques - IMPA

 

Publicado em 15 de Mar de 2020

Explicando as Dimensões 1, 2 e 3 ... Plano, Cilindro, Toro, Faixa de Möbius. Curvatura na Área da Geometria Diferencial e Característica de Euler na Área da Topologia. Com que se preocupa a Geometria (Diferencial) e com que se preocupa a Topologia ... a primeira se preocupa com MEDIDAS de Comprimento e Área, Ângulos e a segunda se preocupa com Deformações Contínuas (O Homeomorfismos) onde é permitido cortar o objeto – Já os Difeomorfismos exigem a Diferenciabilidade da Deformação, isto é não é permitido cortes!

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Geometria Diferencial = Topologia ...Esta é a Conclusão - Prof Fernando Codá Marques - IMPA

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