Estatística e Probabilidade: Curso - Medidas de Dispersão e Variabilidade

ESTATÍSTICA

Disciplina: Estatística e Probabilidade

Curso Completo (Apostila)

Professor: Altamir A. R. Araldi

Ano: 2004 e 2005, Local: CAV-UDESC, Cidade: Lages-SC

CAPÍTULO 4 - MEDIDAS DE DISPERSÃO (OU VARIABILIDADE)

I - MEDIDAS DISPERSÃO (OU VARIABILIDADE)

4.1 - INTRODUÇÃO

Depois das Medidas de Tendência Central, de uma Série de Valores ou de uma Distribuição de Freqüência, ocupamo-nos a seguir do Grau de Dispersão ou Variação, ignorando por enquanto a sua forma. Assim, duas Séries ou Distribuições de Valores, embora com a mesma Média, por exemplo, podem ter uma Flutuação muito diversa desses valores em torno da Medida de Tendência Central. A característica desse fato é dada pelas Medidas de Dispersão ou Variabilidade.

4.2 - CLASSIFICAÇÃO DAS MEDIDAS DE DISPERSÃO

4.2.1 – ABSOLUTAS: DESVIO QUARTÍLICO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO.

4.2.2 – RELATIVAS: COEFICIENTE DE VARIAÇÃO.

4.3 – DESVIO QUARTÍLICO (DQ)

Ou Amplitude Semi-Interquartílica, de uma Série Simples ou de uma Distribuição de Freqüência, é definida por:

DQ=(Q3 – Q1)/2 (1)

Em que Q3 é o Quartil Superior ou 3o Quartil e Q1 é o Quartil Inferior ou 1o Quartil.

O Desvio Quartílico mede a Concentração das Observações em torno da Mediana. Assim, comparando uma Série de Valores ou Distribuição de Freqüência, quanto maior o “DQ”, tanto maior a Dispersão.

Exemplo:

Qual o Desvio Quartílico da Série x={4, 5, 7, 9, 10}?
Dada a Série y={4, 6, 7, 9, 12}. Compare com a Série anterior. Qual delas tem maior Grau de Dispersão?

Resposta: DQX=2,5;

DQY=2,75.

Interpretação: DQY > DQX.

4.4 – VARIÂNCIA (S²)

4.4.1 – DEFINIÇÃO

É a Razão entre a Soma dos Quadrados dos Desvios e o Número de Observações.

4.4.2 – NOMENCLATURA

4.4.3 – FÓRMULAS DE CÁLCULO

a) Série Simples:

(para uma Amostra); (2a)

(para uma População). (2b)

b) Distribuição de Freqüência:

(para uma Amostra); (3a)

(para uma População). (3b)

Em que .

OBSERVAÇÃO: Para n suficientemente grande, tanto faz usar n ou n-1 no denominador. Veremos o porquê de se usar n para a Amostra e n-1 para a População quando tratarmos do Tópico "Estimadores de Parâmetros".

Desenvolvendo o Binômio , obtêm-se as seguintes Expressões abaixo:

a) Série Simples

para uma Amostra); (4a)

b) Distribuição de Freqüência

para uma População); (4b)

Ensino&Informação: Medidas de Tendência Central e Separatrizes - Exercício 01

4.5 – DESVIO-PADRÃO (s)

4.5.1 – Definição

É a raiz quadrada da Variância, isto é, a Média Quadrática dos Desvios em relação à Média de uma Série ou Distribuição em estudo. Ou seja:

4.5.2 – FÓRMULAS DE CÁLCULO

a) Série simples

(para uma Amostra) (5a)

(para uma População) (5b)

b) Distribuição de Frequência

(para uma Amostra) (6a)

(para uma População) (6b)

Desenvolvendo o binômio , obtêm-se as mesmas expressões (para a Amostra) (4a) e (4b) somente que sob a raiz quadrada.

Observação: Para Dados Agrupados em Classes os Pontos Médios de classe, “Pi”, entram nas expressões para o cálculo da Média e, conseqüentemente, para o cálculo da Variância no lugar dos “xi”.

4.5.3 – Vantagem

a) O desvio-padrão pode receber melhor tratamento algébrico que as outras medidas de dispersão, por isso é considerada a mais representativa delas.

b) O Desvio padrão está na mesma unidade da variável estudada, seja numa série simples ou em distribuição de freqüência.

4.5.4 - Interpretação do Desvio Padrão:

Vejamos o Exercício 1 mostrado acima. O valor da Variância da Série Simples dada é 5,2. Assim, O valor do Desvio padrão no caso considerado uma População é a Raiz Quadrada deste valor ou seja . Isto é, estando o Desvio Padrão na mesma UNIDADE da Variável X e, por conseguinte, da Média, podemos dizer que os dados valores de x1=4, x2=5, x3=7, x4=9 e x5=10 estão EM MÉDIA (NA EXPRESSÃO DO CÁLCULO DA VARIÂNCIA ESTÁ IMPLÍCITO UM VALOR MÉDIO JÁ QUE É UM SOMATÓRIO DE n valores DIVIDIDO POR n) DISTANTES 2,28 UNIDADES DA MÉDIA =7.

Já no Exercício 2 acima temos: . E a interpretação deste valor é análoga a do Exercício 1. Isto é, EM MÉDIA OS VALORES "xi" ESTÃO AFASTADOS DO VALOR DA MÉDIA 1,921 UNIDADES.

4.6 - Medidas de Variação ou Dispersão Relativa

4.6.1 – CONCEITO DE VARIAÇÃO RELATIVA (VR)

Variação Absoluta: DQ (Desvio Quartílico) e S (Desvio Padrão)

Medida de Tendência Central: e Md

OBSERVAÇÃO: O valor da Variação Relativa é um valor entre 0 e 1, ou seja, 0 ≤ VR ≤ 1.

NOTA: Quando numa Distribuição de Freqüência, for impossível determinar o valor da Média (classes extremas abertas) e consequentemente o Desvio Padrão, utiliza-se para determinar a Variação Relativa os valores do “DQ” e da “Md”, que são determináveis.

4.6.2 – COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON (CV):

4.6.2.1 – VANTAGEM

O Coeficiente de Variação de Pearson independe das unidades utilizadas.

4.6.2.2 – DESVANTAGENS

a) O Coeficiente de Variação de Pearson deixa de ser útil quando está próximo de ZERO, ou seja se → 0 .

b) Não pode ser calculado quando a Distribuição de Frequências ou Séries Simples apresenta intervalos de classe extremos abertos.

No Exercício 1 acima temos: .

No Exercício 2 acima temos: .

Isto significa que existe maior variabilidade nos Dados no Exercício 1 do que nos Dados do Exercício 2, independentemente do tamanho da População (no caso ).

OBSERVAÇÃO: Em outras palavras, o Coeficiente de Variação serve para compararmos duas Séries ou Distribuições de Frequências com respeito a VARIABILIDADE DOS DADOS, independentemente das Unidades envolvidas.

4.6.3 – COEFICIENTE DE VARIAÇÃODO DESVIO QUARTÍLICO (VRDQ)

Por Definição, .

OBSERVAÇÃO: É utilizado sempre que a Média e, conseqüentemente o Desvio Padrão não podem ser calculados.

4.7 - AVALIAÇÃO DAS DISPERSÕES OU VARIAÇÕES RELATIVAS

Na avaliação ou interpretação do fenômeno, podemos concluir se o mesmo é MUITO, MUITÍSSIMO, POUCO ou POUQUÍSSIMO Disperso. OBSERVAÇÃO: Esta Classificação é algo que temos considerar ser SUBJETIVA - outros podem fazer suas próprias classificações dentro, é claro, da Coerência necessária.

Esses Índices podem ser aplicados às Medidas de Dispersão Relativas como dado na Tabela abaixo: