ESTATÍSTICA

Disciplina: Estatística e Probabilidade

Curso Completo (Apostila)

Professor: Altamir A. R. Araldi

Ano: 2004 e 2005, Local: CAV-UDESC, Cidade: Lages-SC

CAPÍTULO 6 - TEORIA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE

6.1 - MODELOS MATEMÁTICOS E MODELOS PROBABILÍSTICOS

Um modelo matemático é aquele em que o resultado efetivo é determinado pelas condições de como o experimento ou procedimento é realizado.

Exemplo: Pressão = Força/Área P = F/A.

A pressão que um fluido exerce num recipiente é dada pela força que este exerce sobre cada unidade de superfície do recipiente que o contém, em direção normal à mesma. Mantendo-se inalterados os valores de F e A, esperar-se-á observar o mesmo valor de P, se o experimento for executado sob as mesmas condições.

Um modelo probabilístico é aquele em que as condições do experimento não determinam o resultado do experimento, mas o comportamento probabilístico do resultado observável.

Exemplos: Lançamento de um dado;

Duração de vida de uma lâmpada.

Sempre que o modelo for probabilístico, o experimento será aleatório. Um experimento aleatório apresenta 3 (três) características:

pode ser realizado indefinidas vezes;
embora não se possa afirmar qual o resultado que ocorrerá, em uma realização do experimento, pode-se determinar o conjunto de todos os resultados possíveis;
se o experimento for realizado um grande número de vezes, poder-se-á notar uma certa regularidade. Essa regularidade é que permitirá que se construa um modelo probabilístico para análise do experimento.

6.2 - ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS

Espaço Amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Em geral, é representado pela letra “W”.

Evento é qualquer conjunto de ocorrências de um Espaço Amostral. Se for constituído de um único resultado, será um Evento Simples; se for constituído por mais de um resultado do espaço amostral, será um Evento Composto.

Se A e B são dois Eventos quaisquer:

→ A ∩ B é o evento formado pelos resultados que pertencem simultaneamente a A e a B. O Evento Interseção significa a ocorrência de todos os eventos considerados.

→ A ∪ B é o evento formado pelos resultados que pertencem ao evento A, ao evento B, ou a ambos os eventos. O Evento União significa a ocorrência de pelo menos um dos eventos considerados.

→ O Evento Complementar de A, denotado por , A’ ou , é o Evento formado pelos resultados que pertencem ao Espaço Amostral, mas não pertencem a A.

Dois eventos são Mutuamente Exclusivos ou Excludentes se não podem ocorrer simultaneamente em uma mesma realização de um experimento aleatório.

Exemplos:

1) Espaço Amostral do Experimento Aleatório:

a) Lançamento de um dado Honesto

Ω = {faces do dado} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) Lançamento de dois dados Honestos

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 1o. dado

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 2o. dado

Ω = {(1, 1), (1, 2), . . ., (1, 6), (2, 1), (2, 2), . . ., (2, 6), . . ., (6, 1), (6, 2), . . ., (6, 6)}

c) Lançamento de duas moedas honestas

Sejam, C = {face cara}

K = {face coroa}

Ω = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)}

2) Eventos

- Lançamento de um dado Honesto

Sejam, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e os eventos A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5} e C = {1, 2}.

a) A ∩ C = {2} B ∩ C = {1}

b) A ∪ B = Ω A ∪ C = {1, 2, 4, 6} B ∪ C = {1, 2, 3, 5}

c) = B = A = {3, 4, 5, 6}

d) A e B são eventos Mutuamente Exclusivos os Excludentes, pois A ∩ B = Ø (Conjunto Vazio).

6.3 - DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:

6.3.1 – DEFINIÇÃO CLÁSSICA

Se um Experimento Aleatório pode resultar em “N” diferentes e Igualmente Prováveis Resultados, e se exatamente “n” desses resultados correspondem ao evento A, então a Probabilidade da ocorrência do evento A, denotada por P[A], será:

Exemplo:

1) No Lançamento de Uma Moeda Honesta, determinar a probabilidade da ocorrência da face “cara”.

Seja, C = {face cara}; N = 2 e n = 1

P[C] = 1/2 = 0,5

2) No Lançamento de Um Dado Honesto, determinar a probabilidade de ocorrência da face número 3.

Seja, F3 = {face 3}; N = 6 e n =1

P[F3] = 1/6 = 0,1667

3) Sabendo-se que num Baralho existem 52 cartas, incluindo-se 4 naipes com 13 cartas para cada naipe. Qual a probabilidade de ser retirada uma carta:

a) 8 de espadas; b) damas e c) de ouros?

Sejam, E = {carta de espada}

D = {carta de dama}

O = {carta de ouro}

P[E8] = 1/52 = 0,02

P[D] = 4/52 = 1/13 = 0,0769

P[O] = 13/52 = 1/4 = 0,25

6.3.2 – DEFINIÇÃO EXPERIMENTAL

Seja “E” um Experimento Aleatório, Repetido “n” vezes, e A um Evento qualquer associado a “E”. Seja o número de vezes em que o evento A ocorre, nas “n” repetições do experimento. A Frequência Relativa do evento A, , nas “n” repetições de “E” será:

À medida que o número de repetições aumenta para o Infinito (Intuitivamente, é um número tão grande quando se queira), a Freqüência Relativa tenderá (é o que se espera, não pode ser provado que isto seja verdadeiro teoricamente falando!) a se estabilizar próximo de algum valor numérico denominado de Probabilidade do Evento A.

6.3.3 – DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA

Seja “E” um Experimento e Ω o Espaço Amostral de “E”. A cada Evento A, associa-se um número real, representado por “P[A]” e denominado Probabilidade de A, com as seguintes propriedades:

a) 0 ≤ P[A] ≤ 1

b) P[Ω] = 1

c) Se A e B forem Eventos Mutuamente Exclusivos, então P[A ∪ B] = P[A] + P[B].

Essas propriedades são tidas como Axiomas e, a partir delas derivam-se as seguintes:

d) se são eventos mutuamente exclusivos, então

e) Se Ø for o conjunto vazio, então P[Ø] = 0

f) Se é o Evento Complementar de A, então

g) Se A e B forem dois Eventos quaisquer, então

“Teorema da Soma”

6.4 - PROBABILIDADE CONDICIONAL

Suponha a realização de um Experimento que consista no Lançamento de um Dado, com a finalidade de verificar o valor que ocorre na face de cima. Nesse caso, o Espaço Amostral pode ser representado da seguinte forma: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Consideremos os seguintes Eventos: A = {3, 4, 5, 6} e B = {2, 3}.

Considerando que os resultados são todos Equiprováveis (com a mesma probabilidade de ocorrência), pode-se calcular a probabilidade de cada evento a partir da Definição Clássica, número de casos favoráveis ao evento dividido pelo número de casos possíveis. Assim:

P[A] = 4/6 = 2/3

P[B] = 2/6 = 1/3

Suponha , agora, que se realize o Lançamento do Dado e se tenha a Informação que o Evento A ocorreu. Nesse caso, embora não se saiba ainda qual o resultado que ocorreu, sabe-se que os resultados possíveis não são mais {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mas (3, 4, 5, 6}, que são os resultados previstos no Evento A. Assim, caso se deseje calcular a probabilidade de ter ocorrido também o Evento B, deve-se desconsiderar os resultados que não estão previstos no Evento A que, no caso, são {1,2}. Entre os casos previstos no Evento B, apenas um deles pode ocorrer, o {3}, que é o resultado da Interseção de A com B. A Probabilidade de B, dado que ocorreu o evento A, é então:

P[B/A] = 1/4.

Essa probabilidade também pode ser obtida considerando o Espaço Amostral original. Nesse caso, será a Razão entre a Probabilidade da Interseção dos Eventos A e B, e a Probabilidade do Evento A:

Assim, “a Probabilidade de que ocorra o Evento A dado que ocorreu o Evento B” é dada por:

ou também, se ocorreu A primeiro: