Estatística e Probabilidade - Curso: Assimetria e Curtose

ESTATÍSTICA

Disciplina: Estatística e Probabilidade

Curso Completo (Apostila)

Professor: Altamir A. R. Araldi

Ano: 2004 e 2005, Local: CAV-UDESC, Cidade: Lages-SC

CAPÍTULO 5 - ASSIMETRIA E CURTOSE

I - ASSIMETRIA E CURTOSE

5.1 – ASSIMETRIA

5.1.1 - INTRODUÇÃO

Nesta unidade, determinar-se-á a grandeza e o Sinal de Assimetria de uma Distribuição ou de uma Curva através:

a) da relação entre as Medidas de Tendência Central e o Desvio-Padrão;

b) da relação entre os Quartis e a Mediana.

5.1.2 – DEFINIÇÃO

Uma Distribuição ou uma curva é simétrica quando existe uma exata repartição de valores em torno do ponto central, ou seja, a média, a mediana e a moda coincidem. Os valores se agrupam mais acima ou mais abaixo do ponto central, e este “desvio” (ou viés) da simetria denomina-se assimetria.

Figura 1: Curva Simétrica

5.1.3 – COFICENTE DE ASSIMETRIA DE PEARSON

5.1.3.1 – PARTE TEÓRICA:

a) Diz-se que a assimetria é positiva quando predominam os valores mais altos das OBSERVAÇÕES, isto é, a Distribuição ou Curva de Frequência tem uma “cauda” mais longa à direita da ordenada (frequência) máxima do que à esquerda.

Figura 2: Curva Assimétrica (Positiva)

b) Diz-se que a assimetria é negativa quando predominam os valores baixos das OBSERVAÇÕES, isto é, a Curva de Frequência tem uma “cauda” mais longa à esquerda da ordenada (frequência) máxima do que à direita.

Figura 3: Curva Assimétrica (Negativa)

5.1.3.2 – PARTE ANALÍTICA:

Para Distribuições Assimétricas, a Média ( ) tende a situar-se do mesmo lado da “cauda”. Uma Medida de Assimetria é proporcionada pela diferença entre a Média ( ) e a Moda (Mo), podendo ser tomada sem dimensão (adimensional) mediante a divisão por uma Medida de Dispersão (Desvio Padrão).

Assim, temos:

a) 1o Coeficiente de Assimetria de PEARSON:

(1)

em que, para uma Distribuição Simétrica

b) 2o – Coeficiente de Assimetria de PEARSON:

É obtido substituindo o valor da Moda de PEARSON na expressão anterior (1) para evitar o emprego da mesma.

Assim,

(2)

Então,

Quando os valores de “A” obtidos através de (1) e (3) variam entre ±1, então se diz que a assimetria é fraca e o fenômeno em estudo é considerado não muito assimétrico, podendo ser aplicado, neste caso, o Modelo Estatístico da Curva Normal.

OSERVAÇÃO: Se os valores de “A” ultrapassam os limites de ±1, isto é, A ∈ [-1,1] então a Distribuição terá outro tratamento

(3)

5.1.4 - OUTRA MEDIDA DE ASSIMETRIA: C.Q.A.

Coeficiente Quartílico de Assimetria (C.Q.A.) ou Fórmula de Bowley. Nas Distribuições Simétricas, Desvio Quartílico Superior (Q3 – Md) é igual ao Desvio Quartílico Inferior (Md – Q1), pois estão equidistantes da Mediana (Md). Assim, relacionando-se o Desvio Quartílico Superior com o Inferior, obtém-se uma Medida de Assimetria denominada de Coeficiente Quartílico de Assimetria (C. Q. A.) definido por:

Esta Medida da Assimetria será sempre igual a ZERO se os Quartis forem equidistantes da Mediana; positiva se Q3 se afastar mais da Mediana do que Q1 e negativa em caso contrário.

Pelo Método C.Q.A., considera-se a curva não muito assimétrica quando os limites variam entre ±0,20. Podendo aplicar-se o Modelo (Teórico) Estatístico da Curva Normal.

Vantagem: Esta Medida de Assimetria é uti1izada, quando se empregam os Desvios dos Quartis em relação à Mediana como Medida de Dispersão e não se pode calcular o Desvio Padrão.

OBSERVAÇÃO :

- os resultados não possuirão valores numéricos iguais porque são computados a partir de pontos de referência diferentes. Todos os resultados concordarão, entretanto, quanto à indicação da assimetria, se positiva ou negativa, da Distribuição dada.

- Na comparação da assimetria de duas ou mais distribuições é necessário, evidentemente, aplicar a mesma fórmula.

- Quanto mais normal for a distribuição, ou seja, mais simétrica, mais próximo de zero estará o valor do coeficiente de Assimetria utilizado.

5.2 - CURTOSE

5.2.1 – DEFINIÇAO

Curtose é o menor ou maior grau de "achatamento” da Distribuição ou Curva de Frequência considerada em relação a uma Curva Normal representativa da Distribuição.

5.2.2 – CÁLCULO DA CURTOSE

Baseado nos Quartis e Centis, obtém-se o valor da Curtose de uma Distribuição ou Curva de Frequência e que é dado pela expressão: