Topicos de Algebra I (Introdução à Geometria Algébrica)

Publico: Estudantes de Graduação e Pós-Graduação

Objetivo: O curso pretende ser uma Introdução à Geometria Algébrica, que seja interessante para o público mais vasto possível. Em particular o curso terá as seguintes caraterísticas fundamentais:

• vai utilizar o mínimo de tecnologia possível: em particular, não vai necessitar de ferramentas avançadas de Álgebra Comutativa, e todas as eventuais ferramentas de Álgebra vão ser construídas e demonstradas no próprio curso;

• vai ser privilegiada mais a intuição geométrica concreta do que o lado algébrico abstrato, na tradicão da Geometria Algébrica Clássica e Projetiva; vai apresentar o máximo de exemplos possíveis, de forma que o estudante tenha ao mesmo tempo uma compreensão direta dos conceitos e o prazer de conhecer a beleza das construções geométricas clássicas. Muitos destes exemplos e muitas destas técnicas são de grande interesse geral, mesmo para estudantes que irão especializar-se em áreas diferentes da Geometria.

 

Tentativa de Ementa:

• Espaço projetivo, projetividades, projeções. Cônicas, Quádricas. Curvas planas e espaciais. Hipersuperfícies. Cones. Curvas racionais normais. Pontos múltiplos. Singularidades. Cone tangente a um ponto singular.

• Variedades Afins, Projetivas. Ideais de denfição. Teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz). Irredutibilidade. Funções Regulares.

• Morfismos de variedades. Mapas de Veronese e Segre. Produtos de Variedades.

• Seções hiperplanas. Famílias de Hipersuperfícies.

• Funções racionais. Mapas racionais e birracionais. Blow-up de pontos e subvariedades.

• Dimensão, grau. Morfismos finitos. Teorema de Normalizão de Noether. Recobrimentos ramificados.

• Junção de duas subvariedades. Variedade das secantes. Scrolls racionais normais e de dimensão maior.

• Grassmannianas, Variedades de Incidência, Variedades das retas de Fano.

• Quocientes de variedades afins e projetivas por grupos finitos. Produtos Simétricos. Espaços Projetivos com pesos.

• Espaço tangente, variedades lisas, variedades das retas tangentes e bitangentes. Teoremas de Bertini. Resolução de Singularidades.

• Divisores, brados em retas, sistemas lineares, imersões no espaço projetivos induzidos por sistemas lineares amplos.

 

Bibliografa.

1. Joe Harris, Algebraic Geometry. A rst course. Springer-Verlag.

2. Carletti, Gallarati, Beltrametti, Lectures on curves, surfaces and projective varieties. A classical viewof Algebraic Geometry. EMS Textbooks.

3. Miles Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London Mathematical Society.

4. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I, Springer-Verlag.Pre-requisitos Aconselhavel, mas não necessário, Estruturas Algebricas I.