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Disciplina: Topologia (Espaços Métricos)

MATEMÁTICA PURA

Parte_04

  

Suponhamos, agora tenham sido dados 3 (três) pontos fixos Q1, Q2 e Q3 (não confundir com coordenadas devido aos índices 1,2, e 3. Aqui, entenda-se por uma sequência dada de três pontos) conforme a figura abaixo e que a Métrica usada é a Euclidiana. Usando o procedimento geométrico podemos facilmente determinar as três mediatrizes procuradas.

  

Em problemas de LOGÍSTICA [ver, por exemplo, Modelagem Matemática Aplicada à Logística Urbana] nos deparamos com a questão de dividir uma dada região R (deve ser convexa!) segundo, por exemplo, o CRITÉRIO VIZINHO MAIS PRÓXIMO (se A1 é um ponto que representa, por exemplo, o local de um acidente e Q1, Q2 e Q3 são as localizações de hospitais, então este acidente deve ser atendido pelo hospital mais próximo). Depois de termos achado as mediatrizes, podemos ver que o hospital mais próximo de A1 é Q1. Isto é, a região R ficou dividida em três sub-regiões R1, R2 e R3, segundo o critério do vizinho mais próximo.

  

Mostraremos, num segundo momento, a relação estreita entre DIAGRAMA DE VORONOI e o problema de subdividir uma dada região R segundo o Critério do Vizinho mais Próximo -  essas subdivisões neste contexto do DIAGRAMA DE VORONOI (uma Malha não Estruturada) são denominadas de Células: Trataremos isso na Área de SIMULAÇÃO DE SISTEMAS. Falaremos  com mais detalhes sobre trabalhos envolvendo DIAGRAMA DE VORONOI: Um exemplo é o trabalho de Pesquisa no Laboratório de Simulação do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC. Neste trabalho foi desenvolvido um Algoritmo para fazer as subdivisões da região dada segundo um número dado de pontos dentro desta região (um Toro) utilizando a Métrica Euclidiana – o Algoritmo é iterativamente repetido onde dentro de casa sub-região é inserido o mesmo número de pontos da iteração anterior. O algoritmo tem uma regra de parada quando a malha fica mais refinada ao nível desejado pelo Programador utilizando na época 1993 uma Estão de Trabaho. (o comum na época eram os Pcs da família XT 640kb de memória!)

 

As dificuldades encontradas quando se deseja Implementar (Programar) Computacionalmente no caso particular quando a Métrica envolvida é a Métrica Retangular - isto é de grande valia em Logística Urbana (vide Área MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA À LOGÍSTICA URBANA) não são diferentes das que utilizadas quando a métrica é a Métrica Euclidiana: Basta definir computacionalmente o que é graficamente uma mediatriz tanto utilizando a Métrica Euclidiana bem como a Retangular – é dizer para o computador o que ele tem que intender por mediatriz: é puramente gráfica a explicação, ou seja é uma linha com ângulo de 90o que o Algoritmo tem que desenhar  passando pelo meio do segmento que se pretende obter a mediatriz. Lembrando o que já comentamos em outra seção que resolver Analiticamente o problema do Vizinho mais Próximo usando a  Métrica Retangular é trabalhoso - é quase impossível resolver "a mão" o significativo número de equações quando a região dada R apresenta um número grande de pontos Ai.

Referências ao Leitor:

Vide Trabalhos e Artigos dos “Professores: Clóvis Maliska e seu filho Clóvis Maliska JR.” do Laboratório de Simulação Numérica em Mecânica dos Fluidos (observação: Aqui, em Mecânica dos Fluidos, a Área da MATEMÁTICA PURA denominada de Variáveis Complexas têm dada significativa contribuição - veremos mais adiante... em Tópicos de Variáveis Complexas) e Transferência de Calor.

 

E para quem tem interesse no assunto de DIAGRAMA DE VORONOI é bom saber que a Área da MATEMÁTICA PURA denominada de Topologia está presente em todos estes estudos em Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor – no Laboratório são criados grupos que se reúnem para o estudo paralelo em TOPOLOGIA! Cada ponto das Células na Malha de Voronoi tem uma informação (valor da função que descreve, por exemplo, a condutibilidade de calor) sobre o fenômeno em estudo – na simulação é possível ver, por exemplo, a superfície de um Toro (Em Geometria Diferencial - Área da MATEMÁTICA PURA, é uma Superfície Parametrizada Regular) mudando de cores (vermelho=bem quente, e assim por diante) conforme a simulação se processa! São resolvidos problemas topológicos (relativos à Topologia) quando se tratam superfícies que não são Convexas – um problema que ocorre nas fronteiras ao se cortar um tipo específico de superfície onde pontos que eram Pontos Interiores acabam se tornando em Pontos de Fronteira! Aí reside a vantagem de se trabalhar com Malhas não estruturadas ao invés de Malhas Estruturadas (Células Enumeráveis).

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