MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Topologia (Espaços Métricos)

Vídeos Sobre Espaços Métricos:

Espaços Métrico é um caso particular de um Espaço Topológico.

 

Ensino&Informação:

Espaço Topológico: Sendo X um Conjunto diferente do Conjunto Vazio, uma Topologia em X é uma Família ψ(X) de Subconjuntos de X que satisfaz três condições:

     a) X e ∅ ∈ ψ;    

    b) Dada uma Sub-Família Arbitrária ξ ⊂ ψ(X), então a Reunião Qualquer de elementos de ξ está cotida em ξ;    

    c) a Interseção de um número finito n de elementos de ξ está cotida em ξ.

Dizemos então que X com esta Topologia é Um Espaço Topológico. A defiição de Conjunto Aberto vem na sequência.

 

Em outras palavras, uma topologia é uma família de subconjuntos de X tais que o conjunto vazio e o conjunto X devem pertencer à topologia; a reunião arbitrária de elementos da topologia deve pertencer à topologia e a intersecão finita de elementos da topologia deve pertencer à topologia. Os elementos de ξ são ditos Conjuntos Abertos de X ou simplesmente Abertos de X. O par (X;ξ) é chamado Espaço Topológico.

 

 

Espaço Métrico: Na definição de espaço Métrico se inicia com a definição de Métrica e na sequência definição de Ponto Interior. Sendo X um Espaço Métrico, pode ser Monstrado que um Conjunto A ⊂ X é um Conjunto Aberto de X se, e somente se,  todo a ∈ A é Ponto Interior de A - Isto é, existe uma Bola Aberta B(a,ε) com Centro em a e Raio ε, contida em A ou seja, B(a,ε)  A. Pode ser mostrado, ainda, que um Conjunto A ⊂ X é um Conjunto Aberto de X se, e somente se, A é um Conjunto Aberto quando X é tratado como um Espaço Topológico.

 

Este espaço está destinado muito que óbvio a disponibilização de VÍDEOS acrescentando mais dinamismo ao Ensino das Disciplinas. São vídeos de Autores diversos desde os elaborados pela ensinoeinformacao.com ou vídeos postados na internet. Estes provenientes da Internet terão seu conteúdo avaliado (na forma e no conteúdo) pela ensinoeinformacao.com condição “sine qua non” para que os mesmos possam ser publicados, por meio de “Links”, sempre respeitando o direito de autoria – citação da fonte bem como divulgação do nome do Autor.

Vídeo Aulas

ensinoeinformacao - Demonstração por Indução - Introdução ao Princípio de Indução

 

Publicado em 24 de set de 2015

"O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a Demonstração de fatos referentes aos Números Naturais. Por isso, deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro do arcabouço da Matemática. Entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais." Prof.Elon Lages Lima.
Apresentamos a seguir uma breve exposição sobre os Números Naturais, onde o Princípio da Indução se insere adequadamente e mostra sua força teórica antes de ser utilizado nos Exemplos Práticos propostos nas Vídeo Aulas que se sucedem!

 

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Demonstração por Indução (Ensino&Informação)

ensinoeinformacao - Demonstração por Indução - Exemplo 01

 

Publicado em 24 de set de 2015

Um Contra-Exemplo para mostrar que nem sempre uma Propriedade P(n) é válida para todo n ∈ N = {1, 2, 3, 4, ....} Conjunto dos Números Naturais. OBSERVAÇÃO: Há na Literatura autores que Consideram o ZERO como um Número Natural e assim teríamos N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, o que não mudaria em nada o Princípio de Indução e tudo mais relacionado a este Conjunto Numérico! Mais ainda, ou se PROVA que a propriedade Q(n) é válida para todo n ∈ N; ou é preciso de um Contra-Exemplo para mostrar que Q(n) não é válida para certo m ∈ N. Mas se não puder Demonstrar por Indução, por alguma razão, que uma Propriedade é válida para todo n ∈ N, isto não significa que ela venha deixar de ser válida para todo n ∈ N.

 

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ensinoeinformacao - Demonstração por Indução - Exemplo 02

 

Publicado em 25 de set de 2015

Neste exemplo pode ser visto a Demonstração por Indução para mostrar a validade de uma Expressão Matemática para Determinação da Soma dos n Primeiros Termos de uma Progressão Geométrica Finita.

 

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ensinoeinformacao - Espaços Métricos - Definição e Exemplos de Métricas em R e R²

 

Publicado em 09 de nov de 2016

ESPAÇOS MÉTRICOS
Diferente da Topologia Geral, o estudo de Espaços Métricos se inicia com o conceito de Conjunto Aberto A sendo aquele em todo ponto a pertencente a A é Ponto Interior deste conjunto A, isto é, que existe uma Bola Aberta com Centro no ponto a e certo Raio tal que esta Bola Aberta esteja contida no conjunto A.
 
Para Espaços Métricos depois é que se introduz o conceito e/ou definição de MÉTRICA para as definições subsequentes: Conjunto Fechado (para o qual seu Conjunto Complementar é um Conjunto Aberto); definições de Ponto de Acumulação; Ponto Aderente; Fronteira de um Conjunto; Conjunto Conexo; Conjunto Convexo; Conjunto Limitado; Conjunto Compacto; Cobertura de um Conjunto; e etc. 
 
______________________
 
OBSERVAÇÃO: Esta definição de Conjunto Aberto acaba sendo um caso particular da definição (e, portanto, equivalente) bem diferente da de Conjunto Aberto apresentada em Topologia Geral!

 

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ensinoeinformacao - Conjuntos Enumeráveis e NÃO Enumeráveis

 

Publicado em 10 de out de 2016

Cardinalidade ou Número Cardinal:

 

Na matemática, a cardinalidade de um conjunto é uma medida do "número de elementos" do conjunto. Por exemplo, o conjunto A={2,4,6} contém 3 elementos e por isso possui Cardinalidade # = 3.

 

Mais precisamente, a Definição de Cardinalidade não Intrínseca a um Conjunto. É uma Definição onde são comparados Conjuntos. E dizemos que dois Conjuntos A e B têm a mesma Cardinalidade se, e somente se, existir uma um Função Bijetora (Injetora e Sobrejetora) f:A →B. Assim, dois Conjuntos M e N Finitos  contendo "n" Elementos têm a mesma Cardinalidade se, e somente se, #M = #N = n, isto é, se estes dois conjunto têm o mesmo Número de Elementos n. 

 

Os Conjuntos dos Números Naturais ℕ; Conjunto dos Números Inteiros ℤ; e o Conjunto dos Números Racionais ℚ têm a mesma Cardinalidade denotada por (# = 2 elevado a N). 

Por outro lado, o Conjunto dos Números Reais ℝ e Números Complexos ℂ e qualquer Intervalo da Reta têm a mesma Cardinalidade de notada por "C" a Cardinalidade do CONTÍNUO.

 

Teorema muito Bonito mostra que NÃO existe nenhum Conjunto H com C ⊂ H ⊂ C, tal que #H ≠ #ℚ ou que #H ≠ #ℝ. isto é mostrado por Redução ao Absurdo admitindo que exista uma Função Injetora g:H→ℝ (ou g:ℚ→H), ou seja de que #H < #ℝ e acaba a DEMONSTRAÇÃO mostrando-se que g deve ser SOBREJETORA o que levaria a que #H = #ℝ uma Contradição. Esta é a Hipótese do Continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:
Não existe nenhum Conjunto com Cardinalidade Maior do que a Cardinalidade dos Números Racionais e com Cardinalidade Menor do que a Cardinalidade do Números Reais.

Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

 

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ensinoeinformacao - Número de Subconjuntos de um Conjunto Finito - Como Determinar?

 

Publicado em 11 de out de 2016

Esta Vídeo Aula tem por objetivo mostrar como Determinar o Número de Subconjuntos de um Conjunto Finito contendo n Elementos. Para isso, utilizaremos o Binômio de Newton e a solução para este problema é imediata através da Soma dos Coeficientes Binomiais que dá o resultado desejado!

 

Lembrando, da Análise Combinatória, que o Número de Combinações de n Elementos tomados k a k é dado por:
C m,k = n!/k!(n-k)!

 

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ensinoeinformacao - Cardinalidade: Hipótese do Contínuo

 

Publicado em 04 de nov de 2016

Teorema muito Bonito mostra que NÃO existe nenhum Conjunto H com C ⊂ H ⊂ C, tal que #H ≠ #ℚ ou que #H ≠ #ℝ. isto é mostrado por Redução ao Absurdo admitindo que exista uma Função Injetora g:H→ℝ (ou g:ℚ→H), ou seja de que #H < #ℝ e acaba a DEMONSTRAÇÃO mostrando-se que g deve ser SOBREJETORA o que levaria a que #H = #ℝ uma Contradição. Esta é a Hipótese do Continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:
Não existe nenhum Conjunto com Cardinalidade Maior do que a Cardinalidade dos Números Racionais e com Cardinalidade Menor do que a Cardinalidade do Números Reais.

Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

 

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ensinoeinformacao - Conjuntos Enumeráveis e Conjuntos NÃO Enumeráveis

 

Publicado em 11 de out de 2016

Conjuntos Enumeráveis e Conjuntos NÃO Enumeráveis:

 

Na Matemática, um Conjunto Contável (Enumerável) é um conjunto de mesma Cardinalidade ("número de elementos") de um subconjunto qualquer do conjunto dos Números Naturais ℕ. Assim, Todo Conjunto Finito é Enumerável. Um Conjunto é Enumerável se existe uma Bijeção entre ele e o Conjunto dos Números Naturais ℕ que é tido, pela própria Construção - usando ou não os Axiomas de Peano - do mesmo, como sendo Enumerável. 

 

Por Dicotomia, um conjunto é dito Incontável (Não Enumerável) quando ele Não é Contável. O termo foi criado por Georg Cantor. Os elementos de um conjunto Contável podem ser contados um por vez — mesmo que a Contagem nunca termine cada elemento do conjunto será eventualmente associado com um Número Natural.

 

Exemplo conhecidos de Conjuntos Enumeráveis: Todo Conjunto Finito; Conjunto dos Números Naturais ℕ; Conjunto dos Números Inteiros ℤ;Conjunto dos Números Racionais ℚ. 

 

Exemplo conhecidos de Conjuntos Não Enumeráveis: Conjunto dos Números Reais ℝ e todo Intervalo da Reta; Conjunto dos Números Complexos ℂ.

 

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ensinoeinformacao - Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos

 

Publicado em 11 de out de 2016

Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos:

 

Intuitivamente, um conjunto é Finito quando é possível Contar seus Elementos e a Contagem termina.

 

Uma Dicotomia: Um Conjunto é Infinito se ele NÃO é Finito. Na Teoria dos Conjuntos, um Conjunto é Infinito se possui uma correspondência Biunívoca com um dos seus Subconjuntos Próprios.

Um Conjunto Infinito pode ser Enumerável ou NÃO Enumerável.

 

Exemplos conhecidos de Conjuntos Infinitos: O Conjunto dos Números Naturais ℕ; O Conjunto dos Números Inteiros ℤ; O Conjunto dos Números Racionais ℚ; O Conjunto dos Números Reais ℝ; O Conjunto dos Números Complexos ℂ.

 

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ensinoeinformacao - Espaços Métricos - Bolas Abertas e Fechadas - Métricas Euclidiana, Retangular e do Máximo

 

Publicado em 04 de Ago de 2018

 

Qual é a Forma de uma Bola de centro "a" e Raio "r": na reta R; no Plano R²; e no Espaço Tridimensional R³? Considerando-se as Métricas: Euclidiana, Retangular (ou da Soma), e do Máximo. Métricas Equivalentes que definem os mesmos Conjuntos Aberto de um Conjunto X e assim, definem a mesma Topologia em X... Um Espaço Métrico que é, então, um caso particular de Espaço Topológico em que: 1) a Interseção de dois Conjuntos Abertos de X é um Aberto de X; 2) a Reunião Arbitrária de Abertos de X resulta em um Aberto de X. Em um Espaço Métrico, um Conjunto X é dito Aberto se todo ponto de "a" é um Ponto Interior de X, isto é, se existe uma Bola Aberta B(a,δ) de Centro "a" e raio "δ", tal que B(a,δ)⊂X.

 

Em Matemática, uma Métrica é um conceito que generaliza a idéia geométrica de Distância. Um conjunto em que há uma Métrica definida recebe o nome de Espaço Métrico.
Um Espaço Métrico é uma caso particular de Espaço Topológico. Num Espaço Métrico, um Conjunto Aberto é definido em termos da Definição de Ponto Interior...

 

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ensinoeinformacao - Espaços Métricos | Mediatriz - Uma Generalização usando a Métrica Retangular

 

Publicado em 05 de Ago de 2018

 

Qual é a Forma da MEDIATRIZ de dois pontos dados, quando passamos a usar a Métrica Retangular (ou da Soma, ou Métrica Metropolitana) ao invés da usual Métrica Euclidiana? Como fica a Divisão de uma dada Região Convexa segundo o Critério do Vizinho mais Próximo? E para finalizar, é dada uma Aplicação em Modelagem Geométrica Aplicada à Logística Urbana.

 

Em Matemática, uma Métrica é um conceito que generaliza a idéia geométrica de Distância. Um conjunto em que há uma Métrica definida recebe o nome de Espaço Métrico.
Um Espaço Métrico é uma caso particular de Espaço Topológico. Num Espaço Métrico, um Conjunto Aberto é definido em termos da Definição de Ponto Interior...

 

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ensinoeinformacaoO QUE É UMA RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - AULA 03

 

Publicado em 10 de Dez de 2018

(Aula 03) Um tipo especial de Relação de um Conjunto a em si mesmo. Esta Relação deve obedecer três propriedades!


(Lesson 03) A special type of Relationship of a Set to itself. This relationship must obey three properties!

 

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ensinoeinformacao - O que é um CONJUNTO CONVEXO e uma COMBINAÇÃO CONVEXA ?

Publicado em 02 de Ago de 2020

1) Definição e Exemplos de CONJUNTO CONVEXO.

2) Definição e Exemplos de COMBINAÇÃO CONVEXA (Um Caminho Retilíneo ligando dois Pontos Dados!).

 

 

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