Álgebra Linear: Transformação Linear - Matriz de Rotação / ensinoeinformacao

MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Álgebra Linear

Transformações Lineares - Matriz de uma Rotação

Matriz de uma Rotação:

Uma matriz de rotação é uma matriz quadrada que, quando aplicada sobre a representação matemática de vetor - a matriz coluna - tem o efeito de mudar a direção do vetor por ela representado mas não a sua magnitude; fazendo-o assim fisicamente revolver em torno de um eixo de rotaçãodefinido pelos elementos da matriz; por um valor angular também por eles especificado. O resultado da operação é uma segunda matriz coluna que encerra as coordenadas do vetor resultante da rotação.¹

Matrizes de rotação são unitárias e não alteram a norma do vetor. Se uma matriz não estiver contudo normalizada, essa pode, além de rotacionar o vetor, também afetar seu módulo. Embora essa matrizes também impliquem rotações (ou melhor, pseudorrotações), o uso de matrizes não normalizadas a fim de representar rotações puras é contudo coibido ao exigir-se a unitariedade da matriz de rotação.

A rotação de um vetor implica na modificação de suas projeções sobre os eixos coordenados, e conforme apresentada dá-se em um sistema de coordenadas específico e único (figura à esquerda). A situação física associada pode contudo ser igualmente compreendida não dessa forma; mas sim como uma mudança de referencial estabelecida entre dois sistemas de coordenadas com origens comuns, mas que tenham seus eixos coordenados não coincidentes; via diferenças providas por uma rotação em torno do mesmo eixo de rotação, e pelo mesmo valor angular, antes associados à rotação do vetor. A rotação do eixos coordenados é feita contudo em sentido contrário ao sentido de rotação do vetor na primeira interpretação. Nesse segundo cenário (figura acima, à direita) o vetor permanece imóvel no espaço, e o sistema de coordenadas é que gira.¹

Frente à ultima interpretação, a matriz de rotação é entendida como uma matriz de mudança de referencial entre dois referenciais ortonormais que, embora não transladementre si, giram um em relação ao outro.

O uso de uma ou outra interpretação é facultativo, sendo para todos os efeitos equivalentes.

Considerações iniciais:

Imagem de um crânio em rotação (clique sobre a figura). Em vermelho, a mandíbula. Imagens como essas são produzidas em programas que implementam matrizes de rotação em seus algoritmos.

As matrizes de rotação buscam em princípio representar, em linguagem matemática, operações físicas reais associadas às rotações de objetos, geralmente extensos e sólidos, em um dado espaço dimensional, geralmente o espaço tridimensional.

Assumindo-se, em uma visão ativa, um objeto tridimensional em rotação conforme observado a partir de um referencial fixo, inercial, com origem e sistema de coordenados definidos segundo um sistema cartesiano dextrogiro ortonormal, todas as possíveis rotações pelo corpo fisicamente implementáveis integram o que se designa normalmente por rotações próprias. Qualquer rotação própria é factualmente implementável pelo objeto em questão.

Matematicamente é possível, contudo, implementar-se uma "visão especular" de tais rotações, propriamente falando uma inversão; o que fisicamente consistiria em algo parecido a, partindo-se do objeto real, implementar-se uma operação de rotação própria, impondo-se agora contudo que o observador visualize a configuração final do objeto não diretamente mas sim através de um espelho, fazendo-o de forma a situar os reais pontos em observação sempre às suas costas. Todas as coordenadas de um dado ponto em observação aparecem, assim, invertidas (com sinais negativos justapostos) na situação final; sendo qualquer ponto visualizado 180o aquém de sua real posição em relação a origem.

Uma operação de rotação seguida de inversão não é fisicamente implementável pelo objeto em virtude da quebra de quiralidade diretamente envolvida na transformação de inversão. A mão direita nunca pode ser na prática rotacionada - seja qual for a rotação fisicamente implementável pensada - de forma a sobrepor-se precisamente à mão esquerda, pois essa corresponde à sua reflexão especular.

Rotações seguidas de inversão são conhecidas como rotações impróprias; e não são fisicamente implementáveis mediante rotações do objeto apenas. Matrizes que representam rotações impróprias são facilmente identificáveis pois implicam, no sistema de coordenadas dextrogiro previamente estabelecido, matrizes com determinantes cujos sinais são sempre o negativo (-1) das matrizes que representam as rotações próprias (+1).

Rotações impróprias são também descritas por matrizes que, por muitos autores, são também chamadas matrizes de rotação. Contudo a expressão "matriz de rotação" implica, para a maioria dos autores, apenas as matrizes que representam rotações próprias; e nesses termos é que se define, aparte exceções explícitas, uma matriz de rotacão nesse artigo.

Matrizes de rotação encontram enorme aplicação na Física, fazendo-se sempre presentes na descrição da dinâmica de corpos extensos, da matéria e mesmo da energia; em engenharia; em química, e em qualquer área onde a representação de algum objeto físico se faça necessária. Desempenha importante papel também na área de informática, sobretudo na elaboracão de programas conhecidos genericamente pelas siglas CADs, CNCs, e outros. Particularmente na área de multimédia o uso das matrizes de rotação faz-se de extrema importância, sendo nesse caso também muito úteis as matrizes que representam rotação impróprias. Certamente os que possuem em seu computador uma placa de tv já viram, entre as opções de configuração do programa de controle, a opção "espelhar imagem"; que permite, com um clicar de botão, a inversão da imagem gerada na tela do monitor.

Imagem de um crânio em Rotação: Em vermelho, a mandíbula. Imagens como estas são produzidas em Programas que Implementam Matrizes de Rotação em seus Algoritmos.

Ver também

Notas

a b A citada convenção nem sempre é a rigor seguida pelos autores, e a exemplo, o artigo correlato encontrando na versão inglesa dessa enciclopedia faz mensão ao sistema inverso; segundo o qual ângulos positivos implicam rotações dos vetores nos sentidos anti-horários; ou dos eixos coordenados no sentido horário. A adoção do sistema inverso não altera para todos os fins os resultados; contudo, todas as matrizes de rotação que irão figurar em tal sistema corresponderão às transpostas das respectivas matrizes de rotação que são determinadas ao seguir-se a convenção. Os ângulos de Euler são definidos seguindo-se a convenção aqui nesse artigo adotada - convenção que faz-se condizente com a regra da mão direita aplicada ao caso - e não o padrão encontrado na versão anglófona.
Ir para cima↑ O produto de matrizes nem sempre é comutativo. Em particular, embora matrizes que representem rotações infinitesimais sucessivas comutem entre si, é sabido que as matrizes que representem rotações finitas não são comutativas. Em termos físicos, a ordem em que se executam rotações sucessivas é importante; e alterando-se a ordem de rotação obtêm-se situações finais distintas entre si.

Referências

a b c d e f g h Goldstein, Hebert; Classical Mechanics - Second Edition; Addison-Wesley Publishing Company; 1922 ; ISBN 0-201-02918-9
a b Thornton, Stephen P. ; Marion, Jerry B. - Classical Dynamics of Particles and Systems; 4 edition - Sounders College Publishing; ISBN 0-03-097302-3