Álgebra ou Estruturas Algébricas: Homomorfismo e Isomorfismo / ensinoeinformacao

MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Álgebra (Estruturas Algébricas)

MATEMÁTICA PURA

Homomorfismo e Isomorfismo

Homomorfismo entre duas Estruturas Matemática (Algébricas) é uma função que preserva estas Estruturas, isto é, função. Um Isomorfismo é um Homomorfismo Bijetor, isto é, a Função é Inversível e neste caso a Inversa também é um Homomorfismo! OBS: Diferente de Momeomorfismo que, pela definição em Topologia e/ou Espaços Métricos, a Inversa sempre é um Homeomorfismo - Função Contínua com Inversa Contínua!

Na Álgebra Abstrata (Estruturas Algébricas), um isomorfismo[1] é um homomorfismo[2] bijetivo. Duas estruturas matemáticas são ditas isomorfas se há um mapeamento bijetivo entre elas.

Essencialmente, dois objetos são isomorfos se eles são indistinguíveis dado apenas pela seleção de sua característica, e isomorfismo é o mapeamento entre objetos que mostra um relacionamento entre duas propriedades ou operações.

Na Teoria das Categorias, um isomorfismo é um morfismo f: X → Y em uma categoria para a qual existe "inversa" , com a propriedade de que ambas Identidade em X e Identidade em Y.

Propósito

Isomorfismos são estudados na matemática para estender conhecimentos de uns fenômenos para outros: se dois objetos são isomorfos, então qualquer propriedade que é preservada por um isomorfismo e que é verdade para um dos objetos, também é verdade para o outro objeto. Se um isomorfismo pode ser encontrado de uma parte desconhecida da matemática em alguma área bem estudada da matemática, onde muitos teoremas já foram provados e muitos métodos já estão disponíveis para encontrar respostas, então a função pode ser usada para mapear os problemas da área desconhecida para uma área onde os problemas são facilmente entendidos e trabalhar com eles.

Exemplos práticos

Os seguintes exemplos são de isomorfismos da Álgebra Linear.

Considere a função logaritmo: Para qualquer base b fixada, a função logaritmo logx mapeia dos números reais positivos sobre os números reais formalmente:

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isto é, o Máximo Divisor Comum MDC(m,n) =1.

Em Álgebra (Estruturas Algébricas),

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espaços topológicos, chamada homeomorfismo.

Cardinalidade

Referências

Do Grego: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "shape"
Buchmann, Johannes (2004). Introduction to cryptography. [S.l.]: Springer. p. 54. ISBN 9780387207568
Awodey, Steve (2006). «Isomorphisms». Category theory. [S.l.]: Oxford University Press. p. 11. ISBN 9780198568612
Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). A Course in Algebra. [S.l.]: American Mathematical Society. p. 3. ISBN 9780821834138
(Mazur 2007)