Topologia Geral: Introdução

Diferente da Topologia Geral, o estudo de Espaços Métricos se inicia com o conceito de Conjunto Aberto A sendo aquele em todo ponto a pertencente a A é Ponto Interior deste conjunto A, isto é, que existe uma Bola Aberta com Centro no ponto a e certo Raio tal que esta Bola Aberta esteja contida no conjunto A.

 

Para Espaços Métricos depois é que se introduz o conceito e/ou definição de MÉTRICA para as definições subsequentes: Conjunto Fechado (para o qual seu Conjunto Complementar é um Conjunto Aberto); definições de Ponto de Acumulação; Ponto Aderente; Fronteira de um Conjunto; Conjunto Conexo; Conjunto Convexo; Conjunto Limitado; Conjunto Compacto; Cobertura de um Conjunto; e etc. 

 

 

Topologia Geral

OBSERVAÇÃO: Esta definição de Conjunto Aberto acaba sendo um caso particular da definição (e, portanto, equivalente) bem diferente da de Conjunto Aberto apresentada em Topologia Geral!

 

Definição é de Espaço Topológico: Seja X um conjunto não-vazio. Uma Classe £ de subconjuntos de X é uma Topologia em X se, e somente se, £ satisfaz os seguintes axiomas:

[01] X e ∅ pertencem a £;

[02] A união de um número qualquer de conjuntos de £ pertence a £;

[03] A interseção de dois conjuntos quaisquer de £ pertence a £.

Os elementos de £ chamam-se Conjuntos £-Abertos, ou simplesmente Abertos, e X, juntamente com £, isto é, o par (X,£), é chamado um Espaço Topológico.

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Fonte para a definição axiomática de Espaço Topológico:

LIPSCHUTZ, Seymour. Tradução:FARIA, Alfredo Alves de.: "TOPOLOGIA GERAL". COLEÇÃO SCHAUM, Editora MacGraw-Hill do Brasil, Ltda./MEC, Rio de Janeiro, 1970.

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ObservaçÃO: Quem escreve um livro com o título “Topologia Geral” e o começa mencionando Conjunto Aberto como sendo aquele para o qual todo ponto deste conjunto é um Ponto Interior não está escrevendo um livro sobre TOPOLOGIA GERAL e sim sobre Espaços Métricos. E se, além disso, este escritor deixa de mencionar o exemplo clássico da “Topologia Cofinita”(Arquivo ".PDF) com sendo um primeiro exemplo muito importante no estudo dos chamados “Axiomas de Separação”, então este escritor está muito longe de estar escrevendo sobre Topologia Geral!