MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Topologia Geral

I - Conceitos da Topologia Geral emprestados à Psicologia devido a Jaques Lacan (Ver em Livros: "A Topologia de Lacan") para metaforicamente tentar explicar algumas estruturas do nosso psique. Em particular, estaremos falando de uma Superfície Parametrizada Regular Não-Orientada denominada FAIXA DE MÖBIUS.

diggnation - Bizarre Nested Klein Bottles Will Blow Your Mind - ...

Tradução: Bizarre Garrafas Nested Klein vai explodir sua mente - ..

 

Enviado em 18 de set de 2009

Astronomer and the OG 1337 hax0r Clifford Stoll now makes the theoretically impossible Klein Bottles. If you don't know what they are, look it up. They'll either make you feel really smart... or really stoned. What more could you ask for in a conversation piece.

 

Tradução (literal): Astrônomo e do OG 1337 hax0r Clifford Stoll agora faz as garrafas Klein teoricamente impossíveis. Se você não sabe o que são, procurá-lo. Eles nem vai fazer você se sentir muito inteligente ... ou realmente apedrejado. O que mais você poderia pedir em um pedaço de conversa ?.

Geometric Animations - The Klein Bottle

 

Enviado em 8 de nov de 2006

The Klein Bottle is a surface on which you can move from outside to inside without crossing an edge. This shows that inside and outside are not universal concepts. 

 

Tradução: A Garrafa de Klein é uma superfície sobre a qual você pode se mover de fora para dentro, sem atravessar uma borda. Isto mostra que dentro e fora não são conceitos universais.

rambetter - Cyclist on Klein Bottle

Enviado em 18 de set de 2009

 

Enviado em 6 de abr de 2010

This is a project that a friend and I did for a Computer Graphics course at University of California Berkeley back in 1999.

 

Tradução da Ensino&Informação: Este é um Projeto que um amigo e eu fizemos para um Curso de Computação Gráfica da Universidade da Califórnia em Berkeley em 1999.

mathemamovies - The Adventures of the Klein Bottle

 

Enviado em 5 de mar de 2010

http://www.klein-bottle-film.com

This Maya animated short film gives never seen before inside views into the Klein Bottle that fascinates mathematicians since it was first.

 

Tradução da Ensino&Informação: Esta Curta-Metragem de Animação Maya mostra o nunca visto antes, ou seja, o que se vê dentro da Garrafa Klein que fascina os matemáticos desde que esta Superfície foi mostrada pela primeira vez na Literatura.

Ensino&Informação - Vídeos Sobre Espaços Métricos:

Espaços Métrico é um caso particular de um Espaço Topológico.

 

Ensino&Informação:

Espaço Topológico: Sendo X um Conjunto diferente do Conjunto Vazio, uma Topologia em X é uma Família ψ(X) de Subconjuntos de X que satisfaz três condições:

     a) X e ∅ ∈ ψ;    

    b) Dada uma Sub-Família Arbitrária ξ ⊂ ψ(X), então a Reunião Qualquer de elementos de ξ está cotida em ξ;    

    c) a Interseção de um número finito n de elementos de ξ está cotida em ξ.

Dizemos então que X com esta Topologia é Um Espaço Topológico. A defiição de Conjunto Aberto vem na sequência.

 

Em outras palavras, uma topologia é uma família de subconjuntos de X tais que o conjunto vazio e o conjunto X devem pertencer à topologia; a reunião arbitrária de elementos da topologia deve pertencer à topologia e a intersecão finita de elementos da topologia deve pertencer à topologia. Os elementos de ξ são ditos Conjuntos Abertos de X ou simplesmente Abertos de X. O par (X;ξ) é chamado Espaço Topológico.

 

 

Espaço Métrico: Na definição de espaço Métrico se inicia com a definição de Métrica e na sequência definição de Ponto Interior. Sendo X um Espaço Métrico, pode ser Monstrado que um Conjunto A ⊂ X é um Conjunto Aberto de X se, e somente se,  todo a ∈ A é Ponto Interior de A - Isto é, existe uma Bola Aberta B(a,ε) com Centro em a e Raio ε, contida em A ou seja, B(a,ε)  A. Pode ser mostrado, ainda, que um Conjunto A ⊂ X é um Conjunto Aberto de X se, e somente se, A é um Conjunto Aberto quando X é tratado como um Espaço Topológico.

Em Breve outros Vídeos selecionados na WEB e, também Nossos Próprios Vídeos, Aguardem!

Este espaço está destinado muito que óbvio a disponibilização de VÍDEOS acrescentando mais dinamismo ao Ensino das Disciplinas. São vídeos de Autores diversos desde os elaborados pela ensinoeinformacao.com ou vídeos postados na internet. Estes provenientes da Internet terão seu conteúdo avaliado (na forma e no conteúdo) pela ensinoeinformacao.com condição “sine qua non” para que os mesmos possam ser publicados, por meio de “Links”, sempre respeitando o direito de autoria – citação da fonte bem como divulgação do nome do Autor.

Vídeo Aulas

Rafael Lopez - Homeomorfismo y afinidades

 

Publicado em 14 de nov de 2013

Un homeomorfismo de la hoja de papel al plano

Ensino&Informação: Homeomorfismo (Função Contínua com Inversa Contínua. Uma Deformação de um Objeto em outro, por exemplo, uma Superfície, na qual é permitido CORTES e COLAR) e Afinidades (Espaços Afins)

Rafael Lopez - Un homeomorfismo que no es una afinidad (Um Homemorfisque que não é uma Afinidade)

 

Publicado em 14 de nov de 2013

Un homeomorfismo que no es una afinidad

Função Contínua em Topologia: Função F: X → Y Contínua se a Imagem Inversa de de todo Subconjunto Aberto B  Y é um Conjunto Aberto A  TX, onde (X,τx) e (Y,τY) são Espaços Topológicos com suas respectivas Topologias τx e τY. Em particular vale se (X,τx) e (Y,τY) são Espaços Topológicos Metrizáveis, ou seja, se existem Métricas em X e em Y de maneira que os Abertos (em termos da Definição de Ponto Interior) de X e Y correspondam, respectivamente, aos Abertos das Topoloias τxτY.

Numberphile  - Klein Bottles

 

Publicado em 31 de jul de 2015

Cliff Stoll is passionate about Klein Bottles.
Don't miss the video about how he uses a robot to store 1,000 bottles UNDER

his house...https://www.youtube.com/watch?

Garrafas Klein

Garrafas Klein

Numberphile  - The man with 1,000 Klein Bottles UNDER his house

 

Publicado em 22 de jun de 2015

Thanks Squarespace: http://squarespace.com/numberphile

Numberphile  - Hunt for the Elusive 4th Klein Bottle

 

Publicado em 24 de jun de 2015

Carlo Séquin on his search for the elusive "fourth type of Klein bottle". More videos on Klein Bottles:

http://bit.ly/KleinBottles

Garrafas Klein

ensinoeinformacao - Demonstração por Indução - Introdução ao Princípio de Indução

 

Publicado em 24 de set de 2015

"O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a Demonstração de fatos referentes aos Números Naturais. Por isso, deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro do arcabouço da Matemática. Entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais." Prof.Elon Lages Lima.
Apresentamos a seguir uma breve exposição sobre os Números Naturais, onde o Princípio da Indução se insere adequadamente e mostra sua força teórica antes de ser utilizado nos Exemplos Práticos propostos nas Vídeo Aulas que se sucedem!

 

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Demonstração por Indução (Ensino&Informação)

ensinoeinformacao - Demonstração por Indução - Exemplo 01

 

Publicado em 24 de set de 2015

Um Contra-Exemplo para mostrar que nem sempre uma Propriedade P(n) é válida para todo n ∈ N = {1, 2, 3, 4, ....} Conjunto dos Números Naturais. OBSERVAÇÃO: Há na Literatura autores que Consideram o ZERO como um Número Natural e assim teríamos N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, o que não mudaria em nada o Princípio de Indução e tudo mais relacionado a este Conjunto Numérico! Mais ainda, ou se PROVA que a propriedade Q(n) é válida para todo n ∈ N; ou é preciso de um Contra-Exemplo para mostrar que Q(n) não é válida para certo m ∈ N. Mas se não puder Demonstrar por Indução, por alguma razão, que uma Propriedade é válida para todo n ∈ N, isto não significa que ela venha deixar de ser válida para todo n ∈ N.

 

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ensinoeinformacao - Demonstração por Indução - Exemplo 02

 

Publicado em 25 de set de 2015

Neste exemplo pode ser visto a Demonstração por Indução para mostrar a validade de uma Expressão Matemática para Determinação da Soma dos n Primeiros Termos de uma Progressão Geométrica Finita.

 

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ensinoeinformacao - Cardinalidade: Hipótese do Contínuo

 

Publicado em 04 de nov de 2016

Teorema muito Bonito mostra que NÃO existe nenhum Conjunto H com C ⊂ H ⊂ C, tal que #H ≠ #ℚ ou que #H ≠ #ℝ. isto é mostrado por Redução ao Absurdo admitindo que exista uma Função Injetora g:H→ℝ (ou g:ℚ→H), ou seja de que #H < #ℝ e acaba a DEMONSTRAÇÃO mostrando-se que g deve ser SOBREJETORA o que levaria a que #H = #ℝ uma Contradição. Esta é a Hipótese do Continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:
Não existe nenhum Conjunto com Cardinalidade Maior do que a Cardinalidade dos Números Racionais e com Cardinalidade Menor do que a Cardinalidade do Números Reais.

Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

 

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ensinoeinformacao - Número de Subconjuntos de um Conjunto Finito - Como Determinar?

 

Publicado em 11 de out de 2016

Esta Vídeo Aula tem por objetivo mostrar como Determinar o Número de Subconjuntos de um Conjunto Finito contendo n Elementos. Para isso, utilizaremos o Binômio de Newton e a solução para este problema é imediata através da Soma dos Coeficientes Binomiais que dá o resultado desejado!

 

Lembrando, da Análise Combinatória, que o Número de Combinações de n Elementos tomados k a k é dado por:
C m,k = n!/k!(n-k)!

 

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ensinoeinformacao - Conjuntos Enumeráveis e NÃO Enumeráveis

 

Publicado em 10 de out de 2016

Cardinalidade ou Número Cardinal:

 

Na matemática, a cardinalidade de um conjunto é uma medida do "número de elementos" do conjunto. Por exemplo, o conjunto A={2,4,6} contém 3 elementos e por isso possui Cardinalidade # = 3.

 

Mais precisamente, a Definição de Cardinalidade não Intrínseca a um Conjunto. É uma Definição onde são comparados Conjuntos. E dizemos que dois Conjuntos A e B têm a mesma Cardinalidade se, e somente se, existir uma um Função Bijetora (Injetora e Sobrejetora) f:A →B. Assim, dois Conjuntos M e N Finitos  contendo "n" Elementos têm a mesma Cardinalidade se, e somente se, #M = #N = n, isto é, se estes dois conjunto têm o mesmo Número de Elementos n. 

 

Os Conjuntos dos Números Naturais ℕ; Conjunto dos Números Inteiros ℤ; e o Conjunto dos Números Racionais ℚ têm a mesma Cardinalidade denotada por (# = 2 elevado a N). 

Por outro lado, o Conjunto dos Números Reais ℝ e Números Complexos ℂ e qualquer Intervalo da Reta têm a mesma Cardinalidade de notada por "C" a Cardinalidade do CONTÍNUO.

 

Teorema muito Bonito mostra que NÃO existe nenhum Conjunto H com C ⊂ H ⊂ C, tal que #H ≠ #ℚ ou que #H ≠ #ℝ. isto é mostrado por Redução ao Absurdo admitindo que exista uma Função Injetora g:H→ℝ (ou g:ℚ→H), ou seja de que #H < #ℝ e acaba a DEMONSTRAÇÃO mostrando-se que g deve ser SOBREJETORA o que levaria a que #H = #ℝ uma Contradição. Esta é a Hipótese do Continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:
Não existe nenhum Conjunto com Cardinalidade Maior do que a Cardinalidade dos Números Racionais e com Cardinalidade Menor do que a Cardinalidade do Números Reais.

Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

 

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Cardinalidade 

Número de Subconjuntos de um Conjunto Finito - Como Determinar?

ensinoeinformacao - Topologia e Espaços Topológicos - Definição e Exemplos

 

Publicado em 24 de jun de 2017

Topologia Geral

 

Definição é de Espaço Topológico: Seja X um conjunto não-vazio. Uma Classe £ de subconjuntos de X é uma Topologia em X se, e somente se, £ satisfaz os seguintes axiomas:

[01] X e ∅ pertencem a £;

[02] A união de um “número” qualquer de conjuntos de £ pertence a £;

[03] A interseção de dois conjuntos quaisquer de £ pertence a £.

 

Os elementos de £ chamam-se Conjuntos £-Abertos, ou simplesmente Abertos, e X, juntamente com £, isto é, o par (X,£), é chamado um Espaço Topológico.

 

OBSERVAÇÃO: A definição de Conjunto Aberto dada em espaços Métricos através da definição de PONTO INTERIOR acaba sendo um caso particular da definição (e, portanto, equivalente) bem diferente da definição de Conjunto Aberto apresentada em Topologia Geral!

 

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Topologia e Espaços Topológicos - Definição e Exemplos

  A partir de 03 Maio de 2018

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ensinoeinformacao - Espaços Métricos - Bolas Abertas e Fechadas - Métricas Euclidiana, Retangular e do Máximo

 

Publicado em 05 de Ago de 2018

 

Qual é a Forma de uma Bola de centro "a" e Raio "r": na reta R; no Plano R²; e no Espaço Tridimensional R³? Considerando-se as Métricas: Euclidiana, Retangular (ou da Soma), e do Máximo. Métricas Equivalentes que definem os mesmos Conjuntos Aberto de um Conjunto X e assim, definem a mesma Topologia em X... Um Espaço Métrico que é, então, um caso particular de Espaço Topológico em que: 1) a Interseção de dois Conjuntos Abertos de X é um Aberto de X; 2) a Reunião Arbitrária de Abertos de X resulta em um Aberto de X. Em um Espaço Métrico, um Conjunto X é dito Aberto se todo ponto de "a" é um Ponto Interior de X, isto é, se existe uma Bola Aberta B(a,δ) de Centro "a" e raio "δ", tal que B(a,δ)⊂X.

 

Em Matemática, uma Métrica é um conceito que generaliza a idéia geométrica de Distância. Um conjunto em que há uma Métrica definida recebe o nome de Espaço Métrico.
Um Espaço Métrico é uma caso particular de Espaço Topológico. Num Espaço Métrico, um Conjunto Aberto é definido em termos da Definição de Ponto Interior...

 

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Cardinalidade 

ensinoeinformacaoO QUE É UMA RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - AULA 03

 

Publicado em 10 de Dez de 2018

(Aula 03) Um tipo especial de Relação de um Conjunto a em si mesmo. Esta Relação deve obedecer três propriedades!


(Lesson 03) A special type of Relationship of a Set to itself. This relationship must obey three properties!

 

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Ensino&Informação: O QUE É UMA RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - AULA 03

ensinoeinformacaoO QUE É PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - AULA 04

 

Publicado em 06 de Jan de 2018

(Aula 04) É dada a Definição de Partição de um Conjunto X e é mostrada a ligação com a Definição de Relação de Equivalência neste mesmo conjunto X. São dois Conceitos (ou Definições) EQUIVALENTES! Os conjuntos que compõe a Partição são exatamente as Classes de Equivalência da Relação de Equivalência em questão!!


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Ensino&Informação: O QUE É PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - AULA 04

Numberphile  - Garrafa de Klein e Faixa de Möbius

 

Publicado em 22 de jun de 2015

Thanks Squarespace: http://squarespace.com/numberphile

Garrafas Klein e Faixa de Möbius

ensinoeinformacaoGarrafa de Klein - The Klein Bottle - Uma Animação Belíssima!

 

Publicado em 25 de Jan de 2020

Construção de uma Garrafa de Klein começado unindo as bordas de um Retângulo (o Plano) e Transformando (Homeomorfismo), primeiro, em um Cilindro. Lembrando que a Garrafa de Klien é Homeomorfa à Faixa de Möbius e esta Vídeo Aula diz respeito à Topologia Geral e à Geometria Diferencial (Tendo o esplêndido Teorema de Gauss-Bonnet que as une) ... Uma das melhores Animações, com certeza! Estamos Compartilhando este vídeo em nosso Canal ...Parabéns ao Professor Jos Leys!


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Garrafa de Klein - The Klein Bottle - Uma Animação Belíssima!

ensinoeinformacaoDimensions Chapter 1 - Dimensão Capítulo 1 - Projeção Estereográfica (Stereographic Projection)

 

Publicado em 25 de Jan de 2020

Mostra numa Animação o efeito da Projeção Estereográfica como uma Transformação Conforme (a que Preserva ângulos: um Invariante!) considerando a Projeção não somente em um Plano Cartesiano o R², mas sim no Plano Complexo (números Complexos). Chapter 1 of the Dimensions series. See http://www.dimensions-math.org for more information. Press the 'CC' button for subtitles.


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Dimensions Chapter 1 - Dimensão Capítulo 1 - Projeção Estereográfica (Stereographic Projection)

ensinoeinformacao - POLIEDROS DE PLATÃO - CARACTERÍSTICA DE EULER: Qual é a Relação ?

 

Publicado em 13 de nOV de 2019

A Característica de Euler é um Número que está relacionado com a Curvatura Gaussiana das Superfícies Fechadas (Compactas) através do Teorema de Gauss-Bonnet que Expressa a Integral da Curvatura sobre uma Superfície S: ∫∫K(S) sendo igual a 2.π.χ(S), isto é, ∫∫K(S) = 2.π.χ(S), onde K(S) é a Curvatura Gaussiana da Superfície S e χ(S) é a Característica de Euler da Superfície. Exemplo: A Esfera tem K(S) = 1 (Constante) e χ(S) = 2. Podemos ver a Relação V + F - A = 2 onde este número 2 é a Característica de Euler e V é o número de Vértices; F é o número de Faces; e A é o número de Arestas para todo Poliedro de Platão. Inflando qualquer um dos Poliedros de Platão obtemos uma Esfera. Assim, os Poliedros são Homeomorfos a qualquer um destes Poliedros ... Uma Deformação Contínua onde admite-se Cortar a Superfície!

 

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POLIEDROS DE PLATÃO - CARACTERÍSTICA DE EULER: Qual é a Relação ?

ensinoeinformacaoGeometria Diferencial = Topologia ...Esta é a Conclusão - Prof Fernando Codá Marques - IMPA

 

Publicado em 15 de Mar de 2020

Explicando as Dimensões 1, 2 e 3 ... Plano, Cilindro, Toro, Faixa de Möbius. Curvatura na Área da Geometria Diferencial e Característica de Euler na Área da Topologia. Com que se preocupa a Geometria (Diferencial) e com que se preocupa a Topologia ... a primeira se preocupa com MEDIDAS de Comprimento e Área, Ângulos e a segunda se preocupa com Deformações Contínuas (O Homeomorfismos) onde é permitido cortar o objeto – Já os Difeomorfismos exigem a Diferenciabilidade da Deformação, isto é não é permitido cortes!

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Geometria Diferencial = Topologia ...Esta é a Conclusão - Prof Fernando Codá Marques - IMPA

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