Cálculo Diferencial e Integral: Cardinalidade e Ordem / ensinoeinformacao

MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral

Cardinalidade e Ordem

Introdução: O mais importante de tudo é destacarmos que o Conceito (Definição) de CARDINALIDADE não diz respeito a um Conjunto em particular, ou seja, não é uma definição intrínseca ao conjunto. A definição de CARDINALIDADE diz respeito a COMPARAÇÃO que se faz entre dois Conjuntos. Asssim, defini-se Cardinalidade da seguinte forma:

Definição: Dois Conjuntos A e B têm a mesma Cardinalidade. se e somente se, existe uma BIJEÇÃO (Uma função ƒ:A→B que é Bijetora, ou seja, esta função é Sobrejetora e Injetora ao mesmo tempo - ƒ também de Biunívoca) entre A e B. Exemplo, se A e B são Conjuntos Finitos (com um número finito de elementos), então A e B têm a mesma Cardinalidade se, e somente se, eles têm o mesmo númro de elementos. Se esta parte introdutória ficou clara, então as demais considerações que faremos serão, bem provavelmente, entedidas.

Continuaremos a discorrer sobre o assunto CADINALIDADE tendo como base o LIVRO TEXTO "Topologia Geral - Seymour Lipshutiz".

CONJUNTOS EQUIVALENTES

Definição: Um conjunto A diz-se equivalente a um conjunto B, e se escreve A ∼ B se existe uma função ƒ :A → B que é 1 a 1 (Injetora) e Sobrejetora, ou seja, ƒ é Bijetora. A função ƒ define, então, uma correspondência biunívoca entre os conjuntos A e B.

Definição: Um conjunto é finito se e somente se é vazio ou é equivalente a {1,2, .. , n} para algum n ∈ N (Conjunto do números Naturais); caso contrário, é chamado infinito. Obviamente, dois conjuntos finitos serão equivalentes se, e somente se, contiverem o mesmo número de elementos. Então, para conjuntos finitos, identificam-se os conceitos "equivalência" e "mesmo número de elementos".

Exemplo 1.1: Sejam os conjuntos N={1,2,3, ... } e E={2, 4, 6, ... }. A função j : N → E definida por j (x)=2x é 1 a 1 (Injetora) e Sobrejetora, ou seja uma função Bijetora. Logo, N é equivalente a E.

a) Demontração de que a função j é Injetora: Pela definição de Injetora, se x1 ≠ x2 pertencentes a N, então obrigatoriamente deve-se ter j(x1) ≠ j(x2). Então Suponhamos por Redução ao Absurdo (Demonstração por Redução ao Absurdo!) que j leva x1 e x2 ,com x1 ≠ x2, no mesmo valor, isto é, f(x1)=f(x2). Assim, 2x1=2x2, ou seja usando a Lei do Cancelamento (Para todo Domínio de Integridade vale a lei do Cancelamento: Veja isto quando o Assunto é Matrizes) tem-se x1=x2 o que contradiz a hipótese de ser x1 ≠ x2.

b) Demonstração de que a função j é Sobrejetora: Pela definição de Sobrejetora, dado um elemento b ∈ E, deve existir (único, para ser Função!) a ∈ N tal que j(a)=b. Observemos que a função j leva todo e qualquer elemneto de N em um número Par (números da forma 2k, com k número Natural (N) ou Inteiro (Z). Assim, seja b ∈ E, logo b é da forma b=2k (número Par) e por coseguinte tomando k ∈ N tem-se j(k)=2k=b ∈ E.

Exemplo 1.2: A função j: (-1, 1) → R, definida por j (x)=x / (1 - |x|) é 1 a 1 (Injetora) e Sobrejetora, ou seja uma função é Bijetora.

Logo, o intervalo aberto (-1, 1) é equivalente a R, conjunto dos reais (Uma maneira não correta de falar, mas que nos ajuda a compreender a definição de Cardinalidade seria dizer que estes dois Conjuntos (-1, 1) e R possuem a mesma "quantidade" de elementos).

OBSERVAÇÃO: Antes de contibuarmos a dis sobrecorrer sobre o assunto Cardinalidade, é e muito importante algumas definições tais como:

a) Conjunto Finito;

b) Conjunto Infinito Enumerável; e

c) Conjunto Infinito Não-Enumerável.

para isso nos reportamos ao Livro: "CURSO DE ANÁLISE - VOLUME 1. ELON LAGES LIMA, Projetos Euclides - Editora do IMPA (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada).

Estamos falando de Conjuntos Numéricos. Observe-se que um Conjunto Infinito pode ser equivalente a um Subconjunto Próprio de si mesmo, isto é aquele Conjunto que possui uma Bijeção a um Subconjunto próprio dele mesmo (Na verdade este é um COROLÁRIO depois que se define um Conjunto Infinito) seja ele:

i) Infinito Enumerável (ou Contáveis): O próprio Conjunto dos Números Naturais N={0,1,2,3...}; e o Conjunto dos Números Inteiros Z={ ...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.... }. Existe uma demonstração bem simples de que Z é enumerável:

i.1) O Conjunto dos números Pares P é enumerável e a Bijeção é f: N → P, f(n) = 2n;

i.2) O Conjunto dos números Ímpares é enumerável e a Bijeção é g definida em N como g(n) = 2n+1

i.3) O Conjunto dos números Inteiro Z é enumerável e a Bijeção é h: N → Z, h(n) = 2n se n Positivo e h(n)=-2n+1 se n Negativo. A função inversa de h que vai de N em Z é uma enumeração de Z.

ii) Infinito Não-Enumerável. Esta propriedade é válida para conjuntos infinitos em geral.

Conjunto Finito: Identifiquemos pelo símbolo In o Conjunto (1,...,n} dos números naturais desde 1 até n Mais precisamente, dado n ∈ N, temos

In={p ∈ N; 1 ≤ p ≤ n}.

Um Conjunto cham-se M Finito quando é Vazio (M= ∅) ou quando existe , para algum n ∈ N, uma Bijeção

φ: In → M

No caso de M= ∅, dizemos que que M tem zero elementos. No outro caso mais geral, dizemos que M tem n elementos. E os seguintes fatos decorrem imediatamente desta definição:

a) cada conjunto In é finito e possui n elementos;

b) se g:X → Y é uma Bijeção, então um desses conjuntos é Finito se, e somente se, o outro é.

Intuitivamente, uma bijeção φ: In → X significa uma contagem dos elementos de X. Pondo φ(1)=x1, φ(2)=x2, ...,φ(n)=xn, temos X={x1, x2, ...,xn}. Esta é a representação Ordinária de um Conjunto Finito.

Teorema: Se X é um Conjunto Finito, então todo subconjunto Y ⊂ X é Finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y=X.

Note-se que o Conjunto W={4,7,8,9} ⊂ X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Logo, W é um Conjnto Finito.

Definição: Um Conjunto é dito Infinito quando não é Finito.

Definição: Seja N o Conjundos números naturais. Um Conjunto X é dito Enumerável quando é Finito ou quando existe uma Bijeção g: N → X. No segundo caso, X é dito Infinito Enumerável e, pondo x1=g(x1), x2=g(2),...., xn=g(n),...., tem-se X={x1,x2,....,xn,....}. Cada g:N → X chama-se uma Enumeração de (dos elementos) de X.

Teorema: Todo Conjunto Infinito X contém um Subconjunto Infinito Enumerável. (Ver demonstração página 39 Elon lages Lima).

Corolário: Um Conjunto X é Infinito se, e somente se, existe uma Bijeção h: X → Y, de X sobre uma parte própria Y ⊂ X.

Logo, um Conjunto é Finito se, e somente se, não admite uma Bijeção uma sua parte própria, como já mencionado anteriormente. Obtém-se assim uma caracterização dos Conjuntos Finitos na qual não intervém o Conjunto dos Números Naturais N. OBSERVAÇÃO: Esta foi a maneira que Dedeking (Álgebra: corpo numérico; inteiros algébricos; ideal; anel; conjunto infinito; Análise: números reais; números irracionais; continuidade; limite.) - Arquivo no Formato ".PDF" - definiu Conjunto Finito.

Teorema: Seja N o Conjunto dos Números Naturais. Então, todo Sub-Conjunto X ⊂ N é Enumerável. (Ver demonstração página 39 Elon lages Lima).

Corolário: Um Sub-Conjunto de um Conjunto Enumerável é, também, Enumerável.

Vajamos agora o que se pode afirmar a respeito dos Conjuntos Não-Enumeráveis. É devido a Cantor sabermos da existência de Conjuntos Não-Enumeráveis. Mais precisamente, pode ser mostrado que dado qualquer X, existe sempre um Conjunto cujo Número Cardinal ("número ou quntidade de elementos") é maior do que o de X. Exemplo de Conjunto Não-Enumerável é R o Conjunto dos Números Reais.¹ Isto significa que estamos interessados em disinguir, quanto ao "número de elementos", três tipos de Conjuntos: os Finitos, os Infinitos Enumeráveis e os Infinitos Não-Enumeráveis. Já deixamos transparecer que a noção de Conjunto Enumerável está estreitamente ligada ao Conjunto N dos Números Naturais. E quem quizer saber mais a respeito de N terá que tomar conhecimento da Teoria dos Números Naturais a partir dos Axiomas de Piano. Segundo o apresentado em "Elon Lages Lima: Curso de Análise Volume 1 - "Um esprírito mais crítico indagável sobre a existência dos Números Reais, ou seja, se realmente se conhece algum exemplo de Corpo Ordenado Completo² (Arquivo".PDF"). Em outras palavras: partindo dos Números Naturais (digamos, apresentados através dos Axiomas de Peano) seria possível, por meio de extensões sucessivas do Conceito de Número, chegar à construção dos Números Reais? A resposta é afirmativa. Isto pode ser feito de várias maneiras. A passagem crucial é a dos Racionais para os Reais, a qual pode seguir o método dos Cortes de Dedekind ou das Sequências de Cauchy (devido a Cantor), para citar apenas dois métodos mais populares.³ Continuar a leitura na Página 48 Elon L. Lima Curso de Análise Vol. 1 (Arquivo ".PDF").

Observemos que o Conujunto dos Números Racionais (as Frações) Q é Enumerável. De fato, se indicarmos Z o Conjunto dos Números Inteiros, veremos que Z é Enumerável - Basta notar que Z* os Inteiros é Enumerável: tome a função h:Z → N definida por h(n) = 2n se n é Positivo e h(n) = -2n+1 se n é Negativo. É fácil mostrar que h é Bijetora e g sendo a Inversa de h é tal que g:N →Z é uma Enumeração de Z. Ora, a função f:Z x Z*→ Q, definida por f(m,n) = m/n, é uma Bijeção e segue que Q é Enumerável.

CONCEITO DE CARDINALIDADE (o Número Cardinal):

Se A é equivalente a B, isto é, A ∼ B, então dizemos que A e B têm o mesmo Número Cardinal, ou a mesma Cardinalidade. Indica-se por # (A) o "Número Cardinal de A", ou a "Cardinalidade de A". Então, # (A) = # (B) se e somente se A ∼ B. A propósito, se A e B são dois Conjuntos Finitos com # (A) = n (A tem n Elementos) e # (B) = m (B tem m Elementos), então três afirmações distintas e únicas podem ser feitas (TRICOTOMIA):

a) n = m [equivalentemente, A ∼ B, em que existe uma bijeção entre A e B];

b) n < m [equivalentemente, # (A) < # (B), em que existe um função Injetora f:A → B. Mas não existe uma função Sobrejetora de A em B.

c) m < n [equivalentemente, # (B) < # (A), em que existe um função Injetora f:B → A. Mas não existe uma função Sobrejetora de B em A.

Nos apegaremos a esta idéia para compararmos Números Cardinais, mas lembrabdo que P o conjunto dos Números Pares é um Subconjunto do de N o Conjunto dos Números Naturais e que P ∼ N. Já vimos isto como sendo uma "Propriedade dos Conjuntos Infinitos X onde é possível se ter uma Bijeção (função f Injetora e Sobrejetora) entre X e um parte própria Y (Subconjunto) de X, isto é: Y ⊂ X e uma função f:Y → X bijetora.

Tomando-se este cuidado, podemos extender a outros Conjuntos Infinitos sejam Númeráveis ou Não Enumeráveis a Comparação feita anteriomente entre Números Cardinais para Conjuntos Finitos dizendo que:

Se A e B são dois Conjuntos tendo seus Números Cardinais, respectivamente, # (A) e # (B), então três afirmações distintas e únicas podem ser feitas (TRICOTOMIA) devido a uma das formulações do Teorema de Schroeder-Bernstein: Seja X⊂ Y ⊂ X1 e X ⊂ X1 Então, X ~ Y.

a) A ∼ B, em que existe uma bijeção entre A e B;

b) # (A) < # (B), em que existe um função Injetora f:A → B. Mas não existe uma função Sobrejetora de A em B.

c) # (B) < # (A), em que existe um função Injetora f:B → A. Mas não existe uma função Sobrejetora de B em A.

Já temos como referência o Conjunto Finito X contendo n elementos onde, precisamente é enevitável depois do exposto acima, podemos dizer que # (X) = n. Quantos subconjuntos X tem? Usando o Binômio de Newton para , isto é a soma dos Coeficientes Binomiais dizem que o número de subconjuntos de X é , ou seja # (X) = . ³¹ Assim, atribuiremos de maneira extensiva uma notação para o Número Cardinal do Conjunto Infinito Enumerável N = Conjunto dos Números Naturais como sendo # (N) = . E todo e qualquer outro Conjunto Infinito Enumerável por definição terá este como seu Número Cardinal - exemplo se P é o Conjunto dos Números Inteiros Pares, então # (P) = .

Em breve, estaremos falando da Cardinalidade do Intervalo [0,1] e por conseguinte dos Números Reais: A CARDINALIDADE DO CONTÍNUO!

Texto a ser Editado. Aguardem!

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(1) Existe uma Demonstração dentro da Área Álgebra (Estruturas Algébricas) dentro da área Matemática Pura de que entre Q números racionais (Sub Corpo de R Números reais) e o Corpo dos Números Reais não existe nenhum outro Sub Corpo. Em outras palavras, Q é o menor Sub Corpo contido em R.

(2) Na matemática, um Conjunto Parcialmente Ordenado X é um conjunto equipado com uma Relação Binária de Ordem Parcial. Esta relação formaliza o conceito intuitivo de ordem, sequência, ou arrumação dos elementos do conjunto. Tal ordem não precisa necessariamente ser total, ou seja, não é necessário que todos os elementos do conjunto possam ser comparados uns com os outros; contudo isto pode ocorrer em alguns casos.

Em outras palavras, a Ordenação Total em que vale a Tricotomia: dados dois elementos a e b ⊂ X, então tem-se obrigatoriamente: a < b ou b < a ou a=b. É assim, um caso particular da Ordenação Parcial (nem todos os elemento são comparados com respeito a Relação Binária). A Relação Parcial é definida como segue:

Uma relação "Λ" em um conjunto A é uma Ordem Parcial (ou Ordem)

se, e só se, para todo a, b, c ∈ A,

(i) a Λ a; Propriedade Reflexiva

(ii) (a Λ b e b Λ a) ⇒ a=b; Propriedade Anti-Simétrica.

Cabe uma observação para (ii): Numa Relação de Equivalência, em lugar da Ani-Simétrica, teria que valer a Propriedade Simétrica definida como: a Λ b ⇒ b Λ a

(iii) (a Λ b e b Λ c) ⇒ a Λ c. Propriedade Transitiva.

O conjunto A munido da ordem parcial, isto é, o par (A, Λ) é chamado um Conjunto Parcialmente Ordenado.

Diz-se que um conjunto A é Totalmente (ou Linearmente) Ordenado se, para todo a, b ∈ A, ou a Λ b ou b Λ a. R o Conjunto dos Números, Reais, com a ordem natural definida por x ≤ y (ou x ≥ y), constitui exemplo de Conjunto Totalmente Ordenado. Neste exemplo é o Conjunto dos Números Reais R e a Relação Λ como sendo a Relação de Desigualdade "≤" e/ou "≥". Tem-se: para quaisquer a, b e c ∈ R, a ≤ a; (a ≤ b e b ≤ a) ⇒ a=b; (a ≤ b e b ≤ c) ⇒ a ≤ c.

(3) Existem livros, como "Dedekind, R: Essays on the Theory of Numbers"; "Landau , E. Foundations of Analysis; "Cohen, L. W. e Ehrlich, G: The Estructure of the Real Number Systems; que tratam apenas das estensões do Conceito de Números. Outros, como "Walter Rudin: Princípios de Análise Funcional"; e Monteiro, L. H. Jacy: Elementos de Álgebra dedecam capítulos ao assunto. Afirma Elon L. Lima que seu ponto de vista coincide com o exposto na p. 511 de "Spivak, M: Calculus": "É inteiramente irrelevante que um número real real seja, por acaso, uma coleção de números racionais; tal fato nunca deveria entrar na demonstração de qualquer teorema importante sobre números reais. Demonstrações aceitáveis deveriam usar apenas o fato de que o Conjunto dos Números Reais formam um Corpo Ordenado Completo.