Disciplina: Álgebra Simbólica

  

MATEMÁTICA PURA

Veja a seguir os seguintes conteúdos já disponíveis. Para tomar conhecimento da lista completa dos conteúdos vistos nesta disciplina, clique no ícone "PROGRAMA" acima. OBSERVAÇÃO: Alguns dos assuntos estão divididos em partes as quais podem ser acessadas clicando nos links abaixo.

Álgebra Simbólica:

O Computador ou Calculadoras entram com dados uma imagem ou um cálculo com uma expressão algébrica e tudo é codificado através da Álgebra Booleana através de 0 e 1 (Zeros e Uns), isto é, em que se denomina Lingugem de Máquina. E o resultado seja ele qual for, uma imagem, cálculos, e tudo mais é processado e decodificado e sai do computador imagem ou figuras, por exemplo da forma que fora solicidado ao computador. Ele Computador não manipula ou seja, ele não resolvia até agora uma Expressão Analítica (Algebricamente) como resolver uma Equação, resolver uma Iquação Integral, por exemplo sem que trucássemos uma Série num CÁlculo de Otimização de Funções, por exemplo. Expressões Matemática tal como um Função Trigonométrica é calculado o valor para uma variável numérica através de SOMA e MULTIPLICAÇÃO que aparece na Série de Potência ou de Taylos deta Função Trigonométrica... O Computador não sabe, proppriamente dito, o que é "SENO de x", mas sim somas e multiplicações numéricas envolvidas na Série de Potência ou de Taylor. Em Linguagem PASCAL, por exemplo, não existe uma Função pré definida a Função "x na potência y"... tem-se a função Logaritmica (também calculada na sua Série de Tayleor) e se usa esta em um artifício para conseguir calcular numericamente, enfatizando, "x na potência y". (Veja o Vídeo mostrando como contornamos este problema na Linguagem Pascal: https://youtu.be/WfKwXN6sBuA               

 

Matemática simbólica, diz respeito ao uso de computadores para manipular equações matemáticas e expressões em forma simbólica, em oposição à mera manipulação de aproximações a quantidades numéricas específicas representadas por aqueles símbolos. Ao contrário, então do que era feito em Cálculo Numérico em Computador (uma Disciplina conhecida por muitos) a Álgebra Simbólica manipula Expressões matemática tal como se estivéssemos nós resolvendo manualmente: somando x a x², subtraindo uma função logaritmica Lnx, subtraindo uma função trigonométrica Senx para resolver ou encontrar a Integral Indefinida de uma função, por exemplo.A Álgebra Simbólica trabalha em cima de Regras: Potenciação, Radiciação, Multiplicação, Adição, Simplificação, regras de Derivação e Integração, muitas Integrais Tabeladas... e assim, MANIPULANDO ALGEBRICAMENTE ela resolve a Integral pedida em sua FORMA ANALÍTICA (ou EXPRESSÂO ALGÉBRICA)... faz tudo exatamente se você estivesse tentando resolver esta integral em uma folha de papel, somando x aqui, substituindo x por uma função trigonométrica (Técnica de Integração)... Simplificando, eliminando uma raiz quadrada apropriadamente... assim mesmo, por incrível que lhe possa parecer. 

Exemplo Prático de Aplicação da Álgebra Simbólica:

Vejamos através de um exemplo concreto que é uma aplicação da Álgebra Sibólica para resolver uma Integral Definida eou Indefinida de uma função Real de uma Variável Real tal como mostrada abaixo:

Usando o PROGRAMA "Integral Calculator" (deixaremos um Link para você experimentar a maravilha de resolver ou testar seu resultado na resolução de uma sua Integral!

As Etapas  e o modo de funcionamento na resolução da Integral são mostradas abaixo:

Como funciona a Calculadora Integral

Para aqueles com formação técnica, a seção a seguir explica como a Calculadora Integral funciona.

 

Primeiro, um analisador analisa a função matemática. Ele o transforma em uma forma que é mais compreensível por um computador, ou seja, uma árvore (veja a figura abaixo). Ao fazer isso, a Calculadora Integral deve respeitar a ordem das operações. Uma especialidade em expressões matemáticas é que o sinal de multiplicação pode ser deixado de fora algumas vezes, por exemplo, escrevemos "5x" em vez de "5 * x". A Calculadora Integral tem que detectar esses casos e inserir o sinal de multiplicação.

 

O analisador é implementado em JavaScript , baseado no algoritmo Shunting-yard , e pode ser executado diretamente no navegador. Isso permite um feedback rápido durante a digitação, transformando a árvore em código LaTeX . MathJax cuida de exibi-lo no navegador.

 

Quando o "vai!" clicado, a Calculadora Integral envia a função matemática e as configurações (variável de integração e limites de integração) para o servidor, onde é analisado novamente. Desta vez, a função é transformada em uma forma que pode ser compreendida pelo sistema de álgebra computacional Maxima.

Maxima cuida de realmente computar a integral da função matemática. A saída do Maxima é transformada em LaTeX novamente e é então apresentada ao usuário. A antiderivada é calculada usando o algoritmo de Risch , que é difícil de entender para humanos. É por isso que mostrar as etapas de cálculo é muito desafiador para integrais.

 

Para mostrar os passos, a calculadora aplica as mesmas técnicas de integração que um humano aplicaria. O programa que faz isso foi desenvolvido ao longo de vários anos e está escrito na própria linguagem de programação do Maxima. Consiste em mais de 16.000 linhas de código. Quando o integrando corresponde a uma forma conhecida, aplica regras fixas para resolver a integral (por exemplo, decomposição da fração parcial para funções racionais ou substituição trigonométrica para integrantes envolvendo as raízes quadradas de um polinômio quadrático). Caso contrário, ele tenta diferentes substituições e transformações até que a integral seja resolvida, o tempo se esgote ou não haja mais nada para tentar. A calculadora não tem a intuição matemática que é muito útil para encontrar uma antiderivada, mas, por outro lado, pode tentar um grande número de possibilidades dentro de um curto período de tempo. As antiderivadas passo a passo são frequentemente muito mais curtas e mais elegantes do que as encontradas pelo Maxima.

 

O recurso "Verificar resposta" tem que resolver a difícil tarefa de determinar se duas expressões matemáticas são equivalentes. Sua diferença é calculada e simplificada o máximo possível usando o Maxima. Por exemplo, isso envolve escrever funções trigonométricas / hiperbólicas em suas formas exponenciais. Se puder ser mostrado que a diferença simplifica para zero, a tarefa é resolvida. Caso contrário, é aplicado um algoritmo probabilístico que avalia e compara as duas funções em locais escolhidos aleatoriamente. No caso das antiderivadas, todo o procedimento é repetido com a derivada de cada função, uma vez que as antiderivadas podem diferir por uma constante.

 

Os gráficos de função interativa são calculados no navegador e exibidos em um elemento de tela (HTML5) . Para cada função a ser representada graficamente, a calculadora cria uma função JavaScript, que é então avaliada em pequenos passos para desenhar o gráfico. Durante a representação gráfica, singularidades (por exemplo, polos) são detectadas e tratadas especialmente. O controle por gestos é implementado usando o Hammer.js.

 

Se você tiver dúvidas ou sugestões de melhorias para a Calculadora Integral, não hesite em me escrever um e-mail .

Texto a ser Editado: Aguardem!

  A partir de 27 Out de 2018

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