ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES (TEÓRICAS) DE PROBABILIDADE

No exemplo da Bolsa de Valores o comportamento da variável aleatória “preço da ação” foi descrito por Distribuições Empíricas Discretas. Este tipo de distribuição não é uma exigência da Simulação Monte Carlo. Qualquer variável pode ser representada por uma Distribuição Teórica, desde que, naturalmente, a distribuição descreva adequadamente a variável. De fato, é possível representar uma variável por uma distribuição empírica, e outra variável por uma distribuição teórica no mesmo modelo de simulação. Neste capítulo, serão apresentadas três Distribuições Teóricas importantes, e a forma de geração destas variáveis aleatórias.

 

a) Distribuição de POISSON

A Distribuição de Poisson é utilizada em muitos Problemas de Fila de Espera (Ver Teoria das Filas) para descrever a taxa de chegada. É uma Distribuição Discreta. Dada pela seguinte Função de Probabilidade:

 

                                                                                                                                               

                                                                                                                                                                              (1)

 

 

Onde: X=Variável aleatória definida pela Função Distribuição de Probabilidade de POISSON;

         x=Valor assumido pela variável aleatória X;

         µ =Média da População.  

 

Suponha que uma variável X deva ser representada por uma distribuição de Poisson com Média µ =1,1. Então, com o uso da expressão (1) pode-se obter o valor das probabilidades P(x=x), a partir das quais se obtém P(X ≤ x), conforme é mostrado na Tabela de Geração de Eventos a seguir:

 

 

 

 

 

 

 

                              Tabela: Geração de Eventos segundo Distribuição de POISSON com Média µ =1,1

 

 

 

 

b) Distribuição Normal

Para se usar a Distribuição Normal na descrição  de uma variável , deve-se obter a Média e o Desvio-Padrão. Se a variável X de um problema poder ser considerada CONTÍNUA  e Normalmente Distribuída, então pode-se mostrar através do Teorema do Limite Central que é possível gerar uma Sequência de Números Pseudo-Aleatórios  Normalmente Distribuídos, com Média µ e Desvio-Padrão σ, a partir de Números Pseudo-Aleatórios Uniformemente Distribuídos (Ver Distribuição Uniforme) usando, para tanto, a seguinte expressão:

                  

 

                                                                                                                                           (2)

 

 

Onde: n=Número Pseudo-Aleatório Normalmente Distribuído, com Média µ e Desvio-Padrão  σ;

         k=Constante Empírica; recomenda-se k=12, por motivos de simplificação da expressão (2);

         ri=Números Paseudo-Aleatóriros definidos no intervalo [0,1].

 

Portanto, considerando k=12, para cada geração de Números Pseudo-Aleatórios Normalmente Distribuídos, há necessidade de se gerar 12 Números Pseudo-Aleatórios Uniformemente Distribuídos no intervalo [0,1].

Exemplificando, sejam os DOZE números pseudo-aleatórios uniformemente distribuídos, apresentados no Conjunto P abaixo, e seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com Média  =3 e Desvio-Padrão  σ=1,2. Então, um primeiro número pseudo-aleatório gerado para descrever o comportamento de X poderia ser:

 

P={0,10 ; 0,37 ; 0,08 ; 0,99 ; 0,12 ; 0,66 ; 0,31 ; 0,85 ; 0,63 ; 0,73 ; 0,98 ; 0,11}.

 

 

 

Obtendo-se DOZE novos Números Pseudo-Aleatórios Uniformemente Distribuídos, um novo valor de n poderia, igualmente, ser obtido.

 

 

c) Distribuição Exponencial

A Distribuição Exponencial é uma Distribuição CONTÍNUA amplamente utilizada nos Problemas de Simulação. Para usá-la, a Média µ deve ser Conhecida ou Estimada. A sua Função Distribuição de Probabilidade Acumulada é dada por:

 

                                                                         

                                                                                                                                           (3)

 

 

Se a variável X puder ser considerada contínua, então pode-se mostrar que o Pseudo-Número Aleatório ni dado pela expressão abaixo tem Distribuição Exponencial com Média µ .

                                             

                                                                        ni=- µ Ln ri                                                  (4)

 

Onde ri é um Número Pseudo–Aleatório Uniformemente Distribuído no intervalo [0,1] e Ln ri é o Logaritmo Neperiano de ri.