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PESQUISA OPERACIONAL
Disciplina: Processos Estocásticos
Processos Estocásticos
(Introdução e Exemplos)
Processos Estocásticos
INTRODUÇÃO E EXEMPLOS:
Frequentemente, consideram-se situações em que são feitas observações quanto a um período de tempo, situações essas influenciadas por efeitos aleatórios, não só em um único instante, mas por todo o intervalo de tempo ou sequência de tempos que se está a considerar. Essa situação é denominada um Processo Estocástico.
Os exemplos são muitos diversos. A variação de tráfego em certo cruzamento que envolve a formação e a dissipação de congestionamento de tráfego constitue um processo estocástico. Outro exemplo poderia ser o da variação diária no tamanho de estoque de uma determinada companhia. Entre outros exemplos se incluem o comportamento de partículas sujeitas a impactos aleatórios, som de tiros em válvulas de vácuo, difusão molecular, queda radioativa, variações na qualidade dos produtos de uma fábrica, mutações genéticas, variação na atividade de bolsa de valores etc.
Em termos gerais, um processo estocástico é um fenômeno que varia em algum grau, de forma imprevisível, à medida que o tempo passa. A imprevisibilidade, nesse caso, implica em que se observou uma sequencia de tempo inteira do processo em diversas ocasiões diferentes, sob condições presumivelmente "idênticas", as sequencias em observações resultantes seriam, em geral, diferentes. Assim, a probabilidade aparece, mas não no sentido de que cada resultado de uma experiência aleatória determina somente um único número. Ao invés, a experiência aleatória determina o comportamento de algum sistema para uma sequencia ou intervalo de tempo inteiro. Isto é, o resultado da experiência aleatória é uma sequencia ou série de valores, uma função, e não apenas um único número. Assim, por exemplo, se observa a passagem de carros em um determinado cruzamento de rua por um período de 24 horas, se estará observando uma realização de um processo aleatório, um único ponto amostral de certa experiência aleatória. É fácil lembrar de eventos ligados a essa observação para os quais se poderia definir probabilidades. O evento 1/72 carros passam entre 14:00 e 15:00 horas", teria uma certa probabilidade, e, é claro, seria diferente da probabilidade do evento 1/72 carros passam entre 02:00 e 03:00 horas".
Uma vez que um processo estocástico envolve o comportamento de um sistema durante um período de tempo, em definido tal processo, deve-se começar por especificar o Conjunto de Tempo T envolvido. Esse pode ser o intervalo de tempo em uma situação na qual as medidas são tomadas continuamente, tais como, registrar os carros que passam em um determinado cruzamento.
Nesse caso, fala-se de um Processo de Parâmetros Contínuos. Em outras situações, T pode ser uma Sequencia de Tempos. Isso aconteceria, por exemplo, se o estoque de uma companhia só fosse registrado uma vez por mês, ou se os ganhos totais de uma pessoa em um jogo de azar fossem registrados após cada partida. Fala-se, nesse caso, de um Processo de Parâmetros Discretos.
Nesta abordagem está se considerando somente um tipo de T discreto, consistindo de uma Sequencia de Númeos Inteiros consecutivos.
T={O, 1, 2, 3,...} ou T={1, 2, 3,...}
e um tipo de T contínuo, consistindo de todos os tempos subsequentes a alguma origem dada
T={t: 0 ≤ t < ∞}
Suponha-se que em cada ponto t do conjunto de tempo T se pode observar uma medida ou variável aleatória Xt,. Assim, supõe-se que alguma experiência aleatória é dada, e que para cada ponto amostral ou resultado experimental, corresponde não apenas um único número (como no caso de uma variável aleatória), mas uma Xt inteira. Se o ponto amostral ou resultado experimental for indicado por s, então poder-se-á indicar corretamente a função por:
Xt(s) para t ϵ T
Tal função aleatória de t é chamada um Processo Estocástico ou Processo Aleatório. Uma única sequencia de observações (ou função) Xt que corresponde a um único ponto amostral s é chamado uma Realização do Processo Estocástico. Diversas realizações possíveis do processo estocástico se encontram traçadas nas Figuras a seguir.
A Amplitude de Xt (a coleção de valores numéricos que a variável aleatória Xt pode assumir) é denominada o Espaço dos Estados do Processo, e os valores de Xt. de Estados. Se Xt representa alguma medida (temperatura, voltagem etc.), então o Espaço de Estados poderia ser um Intervalo de Números Reais. Se Xt representa uma Contagem, ou um número completo de objetos (itens no estoque, dólares ganhos em uma sequencia de jogos etc.), então o Espaço dos Estados poderia consistir de uma Sequencia (Finita ou Infinita) de Inteiros.
No primeiro caso, fala-se de um Processo de Estado Contínuo, no segundo, de um Processo de Estado Discreto. Na discussão subsequente, se partirá do pressuposto de que todos os espaços dos estados são discretos a menos que seja declarado especificamente para qualquer outro valor. Esses processos são frequentemente chamados Cadeias Aleatórias.
Figura A: A demanda de peças sobressalentes por semana. (Esse gráfico foi elaborado a partir de informações fornecidas pelo Dr. H. P. Galliher.)
Observe que para um valor qualquer e fixado de t, Xt é uma variável aleatória que descreve o estado do processo no tempo t. Dada qualquer Conjunto ou Sequência Finita t1, t2,..., tn de tempos, então Xt1, Xt2,..., Xtn é um Conjunto ou Sequência de n Variáveis Aleatórias com Distribuição Conjunta. Diz-se que a estrutura de probabilidade do processo X, é totalmente determinada desde que a distribuição conjunta ou Função de Densidade de cada conjunto de variáveis aleatórias seja determinada. Basicamente, a análise de um processo estocástico envolve determinar essas distribuições conjuntas e utilizá-las para rever o comportamento do processo no futuro, dado certo comportamento no passado. Esta Sequencia de variáveis aleatórias, {Xt1, Xt2,..., Xtn,...} pode-se considerada como um Processo Estocástico de Parâmetro Discreto Xt no qual o Conjunto de Tempos T consiste dos Números Inteiros {1, 2, 3, ...}.
Figura B: Uma curva de aprendizado típica para uma operação repetitiva de curto ciclo. (Extraído de Hancock W. M. et al.: Learning Curve Researdi on Manual Operations, MTM Assoe, Ann. Arbor, Michigan, 1965.)
Figura C: Duas realizações independentes de um processo de fila de espera, começando, cada um, com quatro indivíduos.
Antes de travar uma discussão sobre Classificação e Propriedades Gerais do Processo Estocástico, é importante que o leitor adquira um sentimento intuitivo com relação às idéias anteriores e uma familiaridade com relação a certos processos especiais.
OBSERVAÇÃO:
O equilíbrio que norteia esta abordagem é dedicado à discussão de certos exemplos especiais importantes dos processos estocásticos. As idéias ilustradas nesses exemplos serão expandidas em tópicos subsequentes, com maior generalidade e aplicabilidade.
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Fonte:
Clarke, A. Bruce. and Disney, L. Ralph.: Probabilidade e Processos Estocásticos. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1979.
