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MATEMÁTICA PURA
Disciplina: Álgebra (Estruturas Algébricas)
MATEMÁTICA PURA
(Exercícios)
EXERCÍCIO 01
_______________________
(1) O Conjunto das Matrizes Quadradas munido com a Operação (ou Lei de Composição Interna) de Multiplicação de matrizes forma uma Estrutura Algébrica denominada SUBGRUPO (Multiplicativo), onde é definida a Potência de um Elemento. (Isto é, dada a Matriz Quadrada M, Definine-se: M²=M.M, M³=M.M.M e assim sucessivamente...).
(2) O Conjunto das Matrizes munido com as Operações (ou Leis de Composição Internas) de Adição e Multiplicação de Matrizes forma uma Estrutura Algébrica denominada ANEL, onde, por definição, deve valer a Lei Distributiva da Multiplicação em relação à Adição.
(3) O Conjunto das Matrizes munido com a Operação (ou Lei de Composição Interna) de Multiplicação de matrizes forma uma Estrutura Algébrica denominada GRUPO (Multiplicativo). Considerando o Subgrupo das Matrizes Quadradas, este é um SUBGRUPO não Comutativo:
OBSERVAÇÃO: Veja exemplo a seguir de duas Matrizes Quadradas A e B (de Ordem n=2) que não Comutam entre si.
Vemos, assim, que A.B ≠ B.A (Em geral!).
Links para palavras e expressões contidas no texto:
Matriz Quadrada (ou Matriz Quadrada de Ordem n);
Operação (ou Lei de Composição Interna);
Grupo Comutativo (ou Abeliano);
ANEL;
Lei Distributiva da Multiplicação em relação à Adição
OBSERVAÇÃO: Em (1) o Conjunto das Matrizes munido com a Operação (ou Lei de Composição Interna) de Adição de Matrizes constitui-se em um GRUPO (Aditivo), e por conseguinte, forma um Semi-Grupo em que, axiomaticamente, deve valer a Lei Associativa. Ou seja antes de ser um Grupo, devemos verificar se a Operação de Adição de Matrizes obedece a Lei Associativa, isto é, dadas três Matrizes C, D e E, tem-se: C + D + E=(C + D) + E=C + (D + E)?. Reafirmando as definições dadas até aqui, que um Conjunto G com a Operação de Composição Interna especificada a prior para ser um Grupo, antes de tudo precisa ser um Semi-Grupo em que deve valer a Lei Associativa!
OBSERVAÇÃO: O Conjunto das Matrizes munido com a Operação (ou Lei de Composição Interna) de Adição de Matrizes constitui-se em um GRUPO (Aditivo) Comutativo ou dito Abeliano. Isto é, dadas duas matrizes M e N quasiquer, tem-se: M + N=N + M.
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