Disciplina: Topologia (Espaços Métricos)

MATEMÁTICA PURA

Veja a seguir os seguintes conteúdos já disponíveis. Para tomar conhecimento da lista completa dos conteúdos vistos nesta disciplina, clique no ícone "PROGRAMA" acima. OBSERVAÇÃO: Alguns dos assuntos estão divididos em partes as quais podem ser acessadas clicando nos links abaixo.

1) Métrica Retangular e a Generalização do Conceito de MEDIATRIZ:   Introdução   /   Parte 01     /   Parte 02   /   Parte 03   /   Parte 04   /   Parte 05   /                                                                                  Ou Assista este Vídeo!

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Logo, disponibilizaremos o Programa Executável (um arquivo de extensão “.exe”) acessado no Botão-Menu denominado  "P_executáveis”: Programa Executável! Este Programa possibilitará a ilustrar, por exemplo, Homeomorfismos que são Transformações Contínuas com Inversa Contínuas. Observando que Difeomorfismo é uma Transformação Diferenciável com Inversa Diferenciável (esta categoria de Funções ou  Transformações são vistas em outra Área da MATEMÁTICA PURA qual seja a Geometria Diferencial).

 

 

ESPAÇOS MÉTRICOS

Diferente da Topologia Geral, o estudo de Espaços Métricos se inicia com o conceito de Conjunto Aberto A sendo aquele em todo ponto a pertencente a A é Ponto Interior deste conjunto A, isto é, que existe uma Bola Aberta com Centro no ponto a e certo Raio tal que esta Bola Aberta esteja contida no conjunto A.

 

Para Espaços Métricos depois é que se introduz o conceito e/ou definição de MÉTRICA para as definições subsequentes: Conjunto Fechado (para o qual seu Conjunto Complementar é um Conjunto Aberto); definições de Ponto de Acumulação; Ponto Aderente; Fronteira de um Conjunto; Conjunto Conexo; Conjunto Convexo; Conjunto Limitado; Conjunto Compacto; Cobertura de um Conjunto; e etc. 

 

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OBSERVAÇÃO: Esta definição de Conjunto Aberto acaba sendo um caso particular da definição (e, portanto, equivalente) bem diferente da de Conjunto Aberto apresentada em Topologia Geral!

 

Definição é de Espaço Topológico: Seja X um conjunto não-vazio. Uma Classe £ de subconjuntos de X é uma Topologia em X se, e somente se, £ satisfaz os seguintes axiomas:

[01] X pertencem a £;

[02] A união de um número qualquer de conjuntos de £ pertence a £;

[03] A interseção de dois conjuntos quaisquer de £ pertence a £.

Os elementos de £ chamam-se Conjuntos £-Abertos, ou simplesmente Abertos, e X, juntamente com £, isto é, o par (X,£), é chamado um Espaço Topológico.

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Fonte para a definição axiomática de Espaço Topológico:

LIPSCHUTZ, Seymour. Tradução:FARIA, Alfredo Alves de.: "TOPOLOGIA GERAL". COLEÇÃO SCHAUM, Editora MacGraw-Hill do Brasil, Ltda./MEC, Rio de Janeiro, 1970.

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ObservaçÃO: Quem escreve um livro com o título “Topologia Geral” e o começa mencionando Conjunto Aberto como sendo aquele para o qual todo ponto deste conjunto é um Ponto Interior não está escrevendo um livro sobre TOPOLOGIA GERAL e sim sobre Espaços Métricos. E se, além disso, este escritor deixa de mencionar o exemplo clássico da “Topologia Cofinita”(Arquivo ".PDF) com sendo um primeiro exemplo muito importante no estudo dos chamados

 

Axiomas de Separação”, então este escritor está muito longe de estar escrevendo sobre Topologia Geral!

 

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Tópicos Complementares

 

1) Cardinalidade: Introdução

2) Princípio de Indução Matemática                    ou Assista este Vídeo! 

Introdução; A Sequência dos Números Naturais; Os Axiomas de Peano; O Axioma da Indução, Princípio da Indução - Exemplo 1; Adição e Multiplicação de Números Naturais; Ordem: Teorema 1: Transitividade, Teorema 2: Comparabilidade, Teorema 3: Tricotomia, Teorema 4: não Existe Número Natural entre n e n+1, Teorema 5: Monotonicidade; Boa Ordenação - Teorema 6: Princípio da Boa Ordenação; Princípio da Indução Generalizado - Exemplos 2 e 3; Teorema 8:Toda função monótona não-crescente f: N → N é constante a partir de um determinado ponto. (Isto é, existe n0 ∈ N tal que f(n) = f(n0), para todo n ≥ n0.); Corolário: Toda sequência decrescente n1 > n2 > … de números naturais é finita. Com efeito, do contrário, pondo f(k) = nk, obteríamos uma função estritamente decrescente f : N → N.

Segundo Princípio da Indução - Teorema 9: (Segundo Princípio da Indução); Teorema 10: (Segundo método de demonstração por indução) - Exemplos 4, 5 ,6, e 7.

Números Cardinais - Teoremas 11 e 12 

Exercícios de 1 a 22.

Uma Leitura Suplementar:

1) Determinação do Número de Subconjuntos de um Conjunto Finito Contendo "n" Elementos

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Texto a ser Editado. Aguardem!

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