Disciplina: Topologia Algébrica

MATEMÁTICA PURA

Homologia (Matemática)

Introdução

 

Homologia (Matemática): Introdução

Em Matemática Pura, e mais especificamente na Topologia Algébrica, homologia consiste na atribuição de uma Sequência de Grupos a um Espaço Topológico. Na linguagem da Teoria das Categorias, dizemos que uma teoria de homologia é um Functor covariante da categoria dos espaços topológicos na categoria dos Grupos Abelianos graduados.

 

Já em álgebra comutativa, uma teoria de homologia é um functor covariante da categoria dos Complexos de Cadeia na categoria dos grupos abelianos graduados. A Álgebra Homológica trata do estudo de tais functores. Além disto, existe dentro da teoria de categorias uma área de pesquisa denominada álgebra homológica abstrata¹ , que generaliza as ferramentas da álgebra homológica ao contexto das categorias abelianas. Tal formulação da homologia algébrica foi concebida por A. Grothendieck para estudar feixes sobre variedades algébricas².

Seja     um Complexo de Cadeias

 

 

 

Definimos o n-ésimo Grupo de Homologia de      como                                                 .

  

Já os grupos de homologia de um Espaço Topológico       são definidos a partir de um complexo de cadeias determinado por X. As diversas maneiras de se associar um complexo de cadeias a um espaço topológico (ou por vezes, a um par de espaços topológicos), são chamadas de teorias de homologia. Algumas Teorias de Homologia para Variedades Diferenciáveis são: a Homologia Singular, a Homologia de Čech, a Homologia de Morse e a Homologia de de Rham.

Referências

 

  • M. Osborne - Basic Homological Algebra. Springer Verlag (2000).

  • A. Grothendieck - Sur quelques points d'algèbre homologique, Tohoku Math. J., t. 9, p. 119- 183 (1957).

 

 

Bibliografia

  • Elon Lages Lima. Homologia Básica. col: Coleção Projeto Euclides, Rio de Janeiro, RJ: [s.n.], 2012. 

Texto a ser Editado. Aguardem!

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