PESQUISA OPERAIONAL

Otimização

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Exemplo: Ponto de máximo em um Parabolóide.

 

Em matemática, o termo otimização, ou programação matemática, refere-se ao estudo de problemas em que se busca minimizar ou maximizar uma função através da escolha sistemática dos valores de variáveis reais ou inteiras dentro de um conjunto viável.

Em problemas de engenharia, de administração, de logística, de transporte, de economia, de biologia ou de outras ciências, quando se consegue construir modelos matemáticos bastante representativos dos respectivos sistemas dinâmicos em estudo, é possível aplicar as técnicas matemáticas de otimização para maximizar ou minimizar uma função previamente definida como índice de desempenho (ID), ou índice de performance (IP), visando encontrar uma "solução ótima" do problema, isto é, que resulte no melhor desempenho possível do sistema, segundo este critério de desempenho previamente definido (ID).

Altamir escreve:

 

Existem dois Problemas de otimização de uma Função, quais sejam:

 

1) Otimização Irrestrita: Neste caso não há restrição (ções) com respeito à (às) Variável (veis) Independente (s). E o problema de encontrar os valores para as variáveis que tornem Máximo (ou Mínimo) o valor da Função é buscado em todo o Domínio de Definição da Mesma que é assim um Conjunto Aberto de Rn e assim Ilimitado em qualquer direção com respeito aos eixos considerados do Plano (R2), Espaço Tridimonal (R3) e assim por diante - na direção dos vetores a Base Canônica de Rn. Geralmente se usa um Método de Busca ("Barreiras" e "HookeJeevs de Passo Discreto" são dois métodos bastante empregados) uma Sub-Rotina dentro do Algoritmo baseado em um determinado Método de Otimização: Gradiente, por exemplo, se a Função for Diferenciável. E outros para função que é apenas Contínua em seu Domínio de definição.

 

2) Otimização Restrita: Neste caso a função a ser otimizada (determinação do ponto de Máximo ou de Mínimo) se restringe a um conjunto de restrições com respeito às variáveis independentes. Este conjunto pode ser Compacto (em Rn significa Fechado e Limitado). Um Teorema garante o seguinte: Se uma função é Contínua restrita a um Conjunto Fechado, então ela assume (possui) seu ponto de máximo e também de mínimo neste conjunto que é conhecido (definido) como sendo o Conjunto Viável. Se pelo menos uma das restrições contiver Combinações que não sejam Lineares, então o problema é enquadrado dentro da Área da pesquisa Operacional denominado de PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR.

 

2.a) Se além de Otimização Restrita, a Função é

 

Linear (Transformação Linear) como exemplificado pela função

com restrições (exemplo, -4x + 5y < 100) formadas por Combinações Lineares das variáveis independentes, então outro Teorema garante que o ponto de máximo (ou de mínimo), quando existem, estão localizados nos Vértices do Conjunto Viável pontos que são as interseções destas restrições – tem-se aí o que se denomina de PROGRAMAÇÃO LINEAR (uma Área dentro da Pesquisa Operacional onde se usa o Algoritmo Simplex para resolução do problema!) e a Função é denominada de Função Objetivo tal como na Otimização restrita de modo geral. Se o Conjunto Viável for aberto (ilimitado) na direção do crescimento Ou decrescimento da Função Objetivo, então ela não possui ponto de máximo (ou de mínimo, conforme o caso). Pode acontecer que ela possua um conjunto infinito de soluções – é quando o crescimento ou decrescimento da Função objetivo se dá ao longo de toda uma interseção de variáveis.

  

Observação: Ambas são Funções Não_Lineares

Curva de Nível:

Definição: dada uma função z=F(x,y)=1 - x2 - y2 (o editor de texto não permite escrever potências. Então entendam as dua variáveis com expoente 2) interceptada por um plano horizontal z=k, todos os pontos da interseção têm F(x,Y)=k,onde k é uma constante e x e y estão no Domínio de F. A projeção dessa interseção sobre o plano xy é chamada de Curva de nível de altura k.

        

Função Quadrática:

Exemplo 1:

Função Real F de uma varíável Real x,    z=F(x). Pode ser demonstrado que toda função Quadrática possui um Ótimo Global sendo a função irrestrita como o caso acima ou restrita a um Conjunto Compacto (o conjunto compacto da reta é um intervalo fechado do tipo [a,b]).

 

Exemplo 2:

A função z=f(x,y)=x2 + y2  (o editor de texto não permite escrever potências. Então entendam as dua variáveis com expoente 2) na figura à esquerda é outro exemplo de função quadrática assumindo seu ponto de mínimo global em (0,0) onde 0 =f(0,0) é o mínimo global de f.

            

Observação: Restante do Texto a ser Editado!

  A partir de 23 Jul de 2018

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