Disciplina: Matemática 1o. e 2o. Graus

MATEMÁTICA

Funções Trigonométricas

Funções Trigonométricas

Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos complexos.

 

Atualmente, existem seis funções trigonométricas básicas em uso, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão conforme tabela abaixo. As inversas destas funções são chamadas de função de arco ou funções trigonométricas inversas. A nomenclatura é feita através do prefixo "arco-", ou seja, arco seno, arco cosseno, etc. Matematicamente, são designadas por "arcfunção", i.e., arcsen, arccos, etc.; a notação usando-se −1 como na notação da função inversa não é recomendada, pois causa confusão com o inverso multiplicativo, como em                 e                        .[1] O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo: 

História

A noção de que existe alguma correspondência padrão entre os tamanhos dos lados de um triângulo e os ângulos do triângulo surge assim que se reconhece que triângulos semelhantes têm as mesmas razões entre seus lados. Isto é, para qualquer triângulo semelhante, a razão entre a hipotenusa (por exemplo) e um dos outros lados permanece a mesma. Se a hipotenusa for duas vezes maior, os lados serão duas vezes maiores. As funções trigonométricas expressam justamente tais razões. As funções trigonométricas foram estudadas por Hiparco de Niceia (180-125 a.C.), Ptolomeu do Egito (90-165 d.C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abū al-Wafā' al-Būzjānī, Omar Khayyam, Bhāskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Ghiyath al-Kashi (século XIV), Ulugh Beg (século XIV), Regiomontanus (1464),Rheticus, e o estudante de Rheticus, Valentin Otho.[carece de fontes]Madhava de Sangamagramma (c. 1400) fez progressos iniciais na análise de funções trigonométricas em termos de séries infinitas.[2] Introductio in analysin infinitorum (1748), deLeonhard Euler, foi em boa parte responsável por estabelecer o tratamento analítico das funções trigonométricas na Europa, também as definindo como séries infinitas e apresentando a "fórmula de Euler", bem como as abreviações quase modernas sen., cos., tang., cot., sec., e cosec.[3]

Algumas funções eram historicamente comuns, mas agora são raramente usadas, como a corda (crd(θ) = 2 sen(θ/2)), overseno (versen(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sen²(θ/2)) (que surgiu nas mais antigas tabelas[3]), o haverseno (haversen(θ) = versen(θ) / 2 = sen²(θ/2)), a exsecante (exsec(θ) = sec(θ) − 1) e a excossecante (excsc(θ) = exsec(π/2 − θ) = csc(θ) − 1). Muitas outras relações entre essas funções estão listadas no artigo sobre identidades trigonométricas.

 

Etimologicamente, a palavra seno deriva da palavra sânscrita para metade da corda, jya-ardha, abreviada para jiva. Esta foi transliterada para o árabe como jiba, escrita como jb, já que as vogais não são escritas em árabe. A seguir, a transliteração foi mal traduzida, no século XII, para o latim, como sinus, com a impressão errônea de que jb referia-se à palavra jaib, que significa "seio" em árabe, tal como sinus em latim.[4] Finalmente, o uso em língua portuguesa converteu a palavra latina sinus para seno.[5] A palavra tangente vem do latim tangens, que significa tocando, já que a linha toca o círculo unitário; já secante origina-se do latim secans — "cortando" — já que a linha corta o círculo.

Definição do triângulo retângulo

A fim de definir as funções trigonométricas de um ângulo agudo não nulo α considera-se um triângulo retângulo que possui um ângulo igual a α . As funções são definidas como:

α

Deve-se observar que as funções ficam assim bem definidas, ou seja, a relação entre os lados do triângulo não depende da escolha particular do triângulo, mas apenas dos ângulos do triângulo. Isto é uma consequência do Teorema de Tales - Triângulos Semelhantes se cortamos as Retas BA e BC do Triângulo por uma Reta paralela à Base AC, teremos vários ângulos α onde as definições de Seno, Cosseno e etc não alteram.

Definição no Círculo Trigonométrico de Raio 1

A definição das funções trigonométricas pode ser generalizada para um ângulo θ real qualquer através do círculo trigonométrico. O círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto (x,y) pertencente ao círculo está a uma distância 1 da origem, o Teorema de Pitágoras afirma que:

Definições geométricas

Alternativamente, todas as funções trigonométricas podem ser definidas geometricamente conforme figura abaixo. Observe que o triângulo OAE é retângulo, o cateto AO é unitário e o cateto AE é oposto ao ângulo θ e, portanto, sendo OE a hipotenusa deste triângulo, temos:

As funções trigonométricas para o ângulo de 45 graus podem ser calculadas com o auxílio de um Triângulo Retângulo Isósceles de Catetos 1, cuja Hipotenusa vale (pelo Teorema de Pitágoras)       .

Referências

 

  1.  Sean Raleigh, Notation Guide for Precalculus and Calculus Students - Arquivo Formato ".PDF" - 274kb

  2. J J O'Connor and E F Robertson. «Madhava of Sangamagramma». School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Consultado em 2007-09-08.

  3. a b Ver Boyer (1991).

  4. Ver Maor (1998), capítulo 3, sobre a etimologia.

  5. «Clark University».

  6. Iezzi, Gelson (2004). Fundamentos de Matemática elementar 3. Trigonometria [S.l.: s.n.]

  7. The Taylor series for sen(x)

  8. More on Taylor Series

(Ensino&Informação)

Funções Trigonométricas -Trigonometria

Altamir Antônio Rosa Araldi - Ensino&Informação - Funções Trigonométricas - Trigonometria

 

Publicado em 19 de out de 2016

Na parte de Trigonometria ligada mais especificamente a um Triângulo Retângulo definiremos a Funções Trigonométricas: Seno; Cosseno; Tangente e Cotangente. Montaremos uma Tabela para ao Valores destas “Funções” para os ângulos de 30, 45, e 60 Graus. Os Valores de cada Função nestes ângulos são Calculados.
 

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