MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Álgebra Linear

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores

Introdução

Autovalores e Autovetores são conceitos importantes em Matemática, com aplicações práticas em Áreas diversificadas como Mecânica Quântica, Processamento de Imagens, Análise de Vibrações, Mecânica dos Sólidos, Estatística (ver Análise Fatorial de Correspondência: Na Diagonalização da Matriz de Contingência, os Autovalores em Ordem Crescente, surpreendentemente, são as Variâncias ou Desvios Padrões os quais irão formar então os Auto-Espaços associados aos Autovetores e, consequentemente os Planos Fatoriais - os Subespaços de Dimensão 2!), etc (na língua inglesa, os termos usuais são eigenvalue e eigenvector. Nesses nomes, há uma combinação de idiomas, pois o prefixo eigen é alemão, significando próprio, característico). Graficamente a idéia básica pode ser vista de uma forma bastante simples. Seja uma imagem formada por um retângulo com 2 vetores segundo (a) da Figura 1. Essa imagem sofre uma ampliação (Transformação) apenas na horizontal, resultando no retângulo (b). Nessa condição, o vetor v2 passou a v2', que não tem a mesma direção do original v2. Portanto, o vetor v2' não pode ser representado por v2 multiplicado por um escalar λ (Número Real). Mas o vetor v1' tem a mesma direção (Reta Suporte) de v1 e, por isso, pode ser representado por v1 multiplicado por um escalar. Diz-se então que v1 é um Autovetor da Transformação e que esse Escalar é um Autovalor associado a v2. Acontece a ampliação de v1 ou mantem-se o tamanho de v1, se o escalar λ ≥ 1; e acontece uma redução de v se 0 < λ < 1.

Figura 1

Na definição matemática, consideram-se Transformações Lineares: T:V → V, onde V é um Espaço Vetorial qualquer.

 

DEFINIÇÃO: Um vetor não nulo v (ou seja,         ), v ∈ V é dito um Autovetor de T se existe um número real λ tal que T(v)=λ v. O escalar λ é denominado um Autovalor de T associado a v. Pode-se concluir que v e T(v) tem a mesma Reta Suporte (e assim, mesma Direção). Em outras palavras, o vetor w=T(v) é um múltiplo do vetor v.

Alguns exemplos:

1) Seja uma T Transformação Linear que faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal em um Espaço Vetorial bidimensional real, isto é R². Em termos de coordenadas, essa Transformação é escrita na forma:

                                                                                                 T(x, y)=(x, −y)

 

No exemplo da Figura 2, são indicados os vetores

a=(2, 0);

b=(0, 1);

c=(−2, 1).

Figura 2

Então a é um Autovetor de Autovalor 1 porque T(a)=(2, 0)=a.

 

Também b é um Autovetor de Autovalor −1 porque T(b)=(0, −1)=− b.

 

Mas c não é Autovetor associado a T(c) porque T(c)=(−2, −1) e c NÃO estão na mesma Reta Suporte, isto é, para qualquer Escalar λ, T(c) ≠ λc.

 

Observa-se que 1 e −1 são os Autovalores das duas primeiras Transformações Lineares e são associados a quaisquer vetores nas formas (x, 0) e (0, y), respectivamente.

 

2) Seja agora uma Transformação Linear que gira de 90º (π/2) para esquerda (uma Rotação), conforme Figura 3 abaixo.

                                                                   

                                                                                                         T(x, y)=(−y, x)

Figura 3

Essa Transformação Linear não admite Autovetores e/o nem Autovalores reais. Para qualquer vetor a, T(a) é perpendicular ao vetor a e, portanto, não existe número real λ que, multiplicado por a, resulte em T(a).

Cálculo de autovalores e autovetores

Seja A a ( artigo definido a, pois a matriz de uma Transformação Linear é única!) Matriz da Transformação Linear T:V → V. ( Como é T:V → V, esta Transformação é denominada OPERADOR LINEAR). A Matriz A desta Transformação Linear (lembrando, Teorema: Dada uma Tranformação Linear, existe uma única Matriz que a representa. E vice-versa: Dada uma Matriz, existe uma única Transformação Linear que a representa) deve ser, portanto, uma Matriz quadrada (n x n) - n linhas e n colunas. Conforme já Definido, para um autovalor λ e um Autovetor v, T(v)=λ v. Na Forma Matricial,

 

                                                                A v=λ v                                                 (1)

 

Considerando I a Matriz Identidade (por definição, é a matriz (única) tal que I.M=M.I=M), pode-se escrever λ v=λ I v. Substituindo na anterior e reagrupando, vem que: λ I v − A v=0 (0 aqui, é o Vetor Nulo, ou Elemento Neutro na Operação de Adição de Matrizes, lembrando que o Conjunto das Matrizes com a Operação de Adição e Multiplicação de uma Matriz por um Escalar constitui um Espaço Vetorial, este é tal que 0+N=N+0=N, para qualquer Matriz N). De outra forma, (λ I − A) v=0. Seja a função (Função Polinomial em λ):

 

                                                                f(λ)=det (λ I − A)          [Lê-se: determinante de (λ I − A)]

 

Ela é denominada Função Faracterística da Matriz A. Para solução não nula, isto é, Raiz λ não nula (λ≠0) de f(λ)=0, deve-se ter o Determinante nulo:

 

                                                                det (λ I − A)=0                                    (2)

Resolvendo a equação acima, obtém-se os valores de λ que, substituídos na Forma Matricial (1), permitem a determinação dos Autovetores.

 

______________________

Exemplo: são dados:

• Matriz 3x3 A, para a qual se deseja calcular os Autovalores.

λ I, que é o produto do Escalar λ pela Matriz Identidade I 3x3 (ou de Ordem 3).

A Matriz da diferença λ I − A é

O seu determinante é calculado pelas relações a seguir.

det (λ I − A)=(λ − 2) [ (λ − 3) (λ + 2) − (1) (−4) ] − (−1) [ (−2) (λ + 2) − (1) (−4) ] + (−1) [ (−2) (1) − (1) (λ − 3) ].

det (λ I − A)=[ (λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 4λ − 8 ] + [−2λ ] − [−λ − 1].

det (λ I − A)=(λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 3 (λ − 3).

det (λ I − A)=(λ − 3) [ (λ − 2) (λ + 2) + 3 ].

det (λ I − A)=(λ − 3) [ λ2 − 4 + 3 ]=(λ − 3) [ λ2 − 1 ].

Expandindo o último termo e igualando a zero conforme (2),

det (λ I − A)=(λ − 3) (λ + 1) (λ − 1)=0.

As soluções dessa Equação Polinomial do Terceiro Grau (Equação genérica: aλ³+bλ²+cλ+d=0, onde a,b,c,d são coeficientes números reais e o objetivo é encontrar valores de λ que satisfaça a igualdade) são claramente:

λ=1

λ=−1

λ=3

Aplica-se agora a igualdade (1) para o valor de λ=1.

Essa Relação Matricial, onde v=(v1,v2,v3), pode ser transformada em um Sistema de Equações Lineares através do desenvolvimento do produto das Matrizes e posterior simplificação.

Somando a primeira com a terceira equação, v3=0. Substituindo nas demais, chega-se ao resultado

v1 + v2=0

Ou

v1=− v2

Há infinitas soluções e pode-se dizer que o vetor é dado por v=α (1, −1, 0) onde α é um Escalar não nulo qualquer. Portanto, para o Autovalor λ=1, os Autovetores são da forma:

α (1, −1, 0) com α ≠ 0. Procedimento idêntico pode ser usado para os demais valores de λ.

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