MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Álgebra (Estruturas Algébricas)

ANEL

ANEL

DEFINIÇÃO: Sejam (x,y) → x + y e (x,y) → x.y Leis de Composição Internas num Conjunto X. Mais precisamente cada uma destas Leis é uma função definida no Produto Cartesiano XxX em X, isto é, para a primeira tem-se F:Xx→ X, tal que F(x,y)=x + y; e para a segunda tem-se G:XxX → X, tal que G(x,y)=x . y.

 

Suponhamos que:

I)Em relação à primeira dessas leis (Adição) em X tem uma Estrutura de Grupo Comutativo, isto é

  • ∀ a, b, c em X, então a + (b + c)=(a + b) + c (Propriedade Associativa da Adição);

 

  • ∀ a, b, então a + b=b + a (Propriedade Comutativa da Adição);

 

  • o (artigo definido “o”, pois é único) Elemento Neutro para esta lei. Será indicado pelo símbolo 0X ou apenas 0 quando não houver possibilidade de confusão;

 

  • Todo elemento a ϵ X possui o Elemento Simétrico para esta lei. Ou seja: ∀ a ϵ X ⇒ ∃! (lê-se: existe um único) elemento em X, denotado por (-a) tal que a + (-a)=0.

 

 

II)A segunda dessas leis (Multiplicação) possui a Propriedade Associativa, isto é, ∀ a, b, c em X,

                                                                       então a . (b . c)=(a . b) . c;

 

 

III)A multiplicação possui a Propriedade Distributiva em relação a Operação de Adição, isto é, ∀ a, b, c em X,

                                                                       então a . (b + c)=a . b + a . c;

 

Nas condições explicitadas acima, dizemos que a Terna Ordenada (X, Adição, Multiplicação) ou, resumidamente, (X , + , .) é um ANEL.

 

 

Por abuso de linguagem é comum dizer-se apenas “X é um ANEL” para expressar a Definição acima apresentada.

 

 

 

 

 

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Duas Propriedade adicionais:

 

IV) Se para todo par a,b ϵ X, tem-se obrigatoriamente: a.b = b.a, então dizemos neste caso que a Terna Ordenada (X, Adição, Multiplicação) ou, resumidamente, (X , + , .) é um ANEL COMUTATIVO.

 

V) Se existir e se for o caso será unico o (artigo definido “o”, pois é único) Elemento Neutro para esta lei. Será indicado pelo símbolo 1X ou apenas 1 quando não houver possibilidade de confusão, tal que ∀ a ϵ X ⇒ a . 1=1 . a=a.

Dizemos neste caso que a Terna Ordenada (X, Adição, Multiplicação) ou, resumidamente, (X , + , .) é um ANEL COMUTATIVO Com UNIDADE "1".

 

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Propriedades importantes de um Anel:

     Para um Anel A qualquer são válidas as propriedades seguintes:

     P1: Para ∀ a ∈ A, tem-se obrigatoriamente: a.0=0.a=0;

     Demonstração: 0 + a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0 → Propriedade Distributiva da Adição em relação a Multiplicação;

                          Daí, 0 + a.0 = a.0 + a.0, e assim,                            , ou seja, 0 = a.0 pela Lei do Cancelamento já que (A,+) é um

                          Grupo.

                          Analogamente, prova-se que 0.a = 0.

 

    P2Para ∀ a,b ∈ A, tem-se obrigatoriamente: a.(-b) = (-a).b = -(a.b);

    Demonstração: a.b + [-a.b)] = a.b + a.(-b) devido a propriedade P1. E pela Lei do Cancelamento no Grupo (A,+), tem-se

    obrigatoriamente ao cancelar "a.b" que: -(a.b) = a.(-b).

    Analogamente, prova-se que -(a.b) = (-a.b).

 

    P3: Para ∀ a,b ∈ A, tem-se obrigatoriamente: (-a).(-b) = a.b;

    demonstração: (-a).(-b) = -[(-a) . b] = -[-(a.b)] devido a Propriedade P2. Portanto, (-a).(-b) = a.b.

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