MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Álgebra (Estruturas Algébricas)

(Exercícios)

EXERCÍCIO 02

 

Exercício: Sejam A e B duas Matrizes Quadradas de Ordem n. Mostre que, em geral, (A.B)² ≠ A².B² , onde A.B denota a Operação (ou Lei de Composição Interna) de Multiplicação de Matrizes.

 

Solução: (A.B)²=(A.B).(A.B)=A.B.A.B (Lei Associativa da Multiplicação de Matrizes)¹ ².

Tentemos a Associação ou Associatividade no segundo membro da igualdade: (A.B)²=(A.B).(A.B)=A.(B.A).B . Como, em geral, o Produto de Matrizes (Lei de Composição Interna) não é Comutativo (Não Comutativo)³, em particular B.A ≠ AB vem que: Em geral, (A.B)² ≠ A².B².

 

 

OBSERVAÇÃO: A única coisa que se pode afirmar com certeza é que (AB)²=(A.B).(AB)=A.B.A.B=A.(B.A.B)=(A.B.A).B=A.(B.A).B

 

 

 

_________________________________________

 

(1) o Conjunto das Matrizes munido com a Operação (ou Lei de Composição Interna) de Multiplicação de Matrizes constitui-se em um GRUPO (Multiplicativo), e por conseguinte, forma um Semi-Grupo em que, axiomaticamente deve valer a Lei Associativa. Ou seja antes de ser um Grupo, devemos verificar se a Operação de Multiplicação de Matrizes obedece a Lei Associativa, isto é, dadas três Matrizes C, D e E, tem-se: C.D.E=(C.D).E=C.(D.E)?. Reafirmando as definições dadas até aqui, que um Conjunto G com a Operação de Composição Interna especificada a prior para ser um Grupo, antes de tudo precisa ser um Semi-Grupo em que deve valer a Lei Associativa!

 

(2) O Conjunto das Matrizes Quadradas munido com a Operação (ou Lei de Composição Interna) de Multiplicação de matrizes forma uma Estrutura Algébrica denominada SUBGRUPO (Multiplicativo), onde é definida a Potência de um Elemento (Isto é, dada a Matriz Qudrada M, Definine-se: M²=M.M, M³=M.M.M e assim sucessivamente...).

 

 

(3) O Conjunto das Matrizes munido com a Operação (ou Lei de Composição Interna) de Multiplicação de matrizes forma uma Estrutura Algébrica denominada GRUPO (Multiplicativo). Considerando o Subgrupo das Matrizes Quadradas, este é um SUBGRUPO não Comutativo:

 

OBSERVAÇÃO: Veja exemplo a seguir de duas Matrizes Quadradas A e B (de Ordem n=2) que não Comutam entre si.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vemos, assim, que A.B ≠ B.A (Em geral!).

 

 

Links para palavras e expressões contidas no texto:

                                                                      Matriz Quadrada (ou Matriz Quadrada de Ordem n);

                                                                        Operação (ou Lei de Composição Interna);

                                                                          Semi-Grupo;

                                                                            GRUPO

                                                                               Grupo Comutativo (ou Abeliano);            

                                                                                 SUBGRUPO

                                                                                   Lei Distributiva

                                                                                     ANEL; 

                                                                                       Potência de um Elemento.

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