MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Geometria Diferencial

 (Faixa de Möbius e Plano)

Exemplo da interseção da Faixa de Möbius com um Plano dispostos de tal forma que não há o transpasse completo de uma na outra. E neste caso, em que não há o transpasse completo, o resultado da interseção das duas superfícies são duas curvas: uma de entrada e a outra de saída - ao contrário, quando uma superfície transpassa completamente a outra, a interseção destas duas curvas é uma CURVA FECHADA no Espaço Tridimensional R³!
 

Parametrizações: F(u, v)=((3 - v Sen (u/2)) Sen u, (3 - v Sen(u/2) Cos u, v Cos(u/2))

                           G(r, s)=(r, s, r/10 + s/15)

Logo, disponibilizarei o Programa Executável (um arquivo de extensão “.exe”) acessado num Botão-Menu a ser denominado “Programa Executável”! Este Programa possibilitará a obtenção da interseção de quaisquer Superfícies Parametrizadas Regulares (uma Função F: R² em R³ dada por F(u,v)=(x(u,v);y(u,v)) e G(u,v) as quais possuem Derivadas em todo ponto e diferentes de zero, isto é, que possuem Plano Tangente nesse ponto.

Na verdade, definimos uma Superfície Parametrizada Regular ou simplesmente uma superfície sendo uma aplicação

F:UСR² → R³, U subconjunto aberto de R², tal que

a) F é diferenciável de classe C (isto é, quando as funções x(u,v); y(u,v); e z(u,v) possuem derivadas parciais de todas as ordens contínuas;

 

b) Para todo ponto q=(u,v) ϵ U, a diferencial de F em q denotada por dFq:R² R³ é injetora.

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Melhoraremos a notação por conta de nosso EDITOR DE TEXTO não ser muito amigável com SUBSCRITOS e SOBRESCRITOS e SÍMBOLOS. Também, em Geometria Diferencial daremos uma definição alternativa (Equivalente) de F ser Regular.

 

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre

 

Uma Faixa de Möbius ou Banda de Möbius ou Fita de Möbius é um Espaço  Vetorial Topológico obtido pela colagem das duas extremidades de uma Faixa, após efectuar meia  (torcer) volta numa delas. Deve o seu nome a August Ferdinand Möbius, que a estudou em 1858.

 

Möbius estudou este objeto em 1858 tendo em vista a obtenção de um prêmio da Academia de Paris sobre a Teoria Geométrica dos Poliedros. Johann Benedict Listing já tinha trabalhado sobre o mesmo objeto alguns meses antes. O fato de tanto Möbius como Listing terem estudado alguns anos antes com Carl Friedrich Gauss sugere que a gênese destas ideias esteja ligada a este matemático.

 

A importância do estudo deste objeto, na época, prendia-se à noção de Orientabilidade, que não era ainda bem compreendida. Möbius introduziu também a noção de Triangulação no estudo de objetos geométricos do ponto de vista topológico.

 

Möbius apenas publicou o seu trabalho em 1865, num Artigo intitulado "Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders".

 

 

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Propriedades da Faixa de Möbius:

  • É uma superfície com uma componente de fronteira;

  • Possui apenas um lado; e

  • Possui apenas uma borda.

Observação: Estes Links acessam Arquivos de texto

no Formato ".PDF".

  

Comentários da ensinoeinformacao.com!com!

 

A Faixa de Möbius é uma Superfície Parametrizada Regular que não possui Vetor Normal bem definido em nenhum ponto da superfície conforme mostra a figura abaixo ilustrando este fato através do movimento de uma formiga (exemplo clássico) ao longo de uma trajetória, isto é, ao longo de uma Curva Parametrizada Regular contida na superfície em questão. Esta formiga parte de um ponto P situado na superfície de Möbius e retornado ao ponto P.

Em cada ponto da curva (ou da superfície) têm-se três vetores: T (Vetor Tangente); B (Vetor Bi-Normal); e N (Vetor Normal). Estes três vetores constituem uma Base Ortonormal do Espaço Tridimensional R³ – Base porque os três vetores são Linearmente Independentes e como estão em R³, estes Geram R³ (ou seja, qualquer vetor de R³ pode ser obtido a partir da Combinação Linear destes três vetores T, B e N) e assim formam uma Base de R³; e por serem Ortogonais (direções destes vetores são perpendiculares entre si, isto é, formam ângulo de 90 graus entre si – equivale dizer que os Produtos Escalares <T,B>=0, <T,N>=0 e <B,N>=0.). Independente de estarmos dentro do contexto da Geometria Diferencial, através do Cálculo Vetorial em R³ é possível estabelecer (ou deduzir) o Triedo ou Fórmulas de Frenet (Ver Arquivo PDF) que é apresentado a seguir: Importante ver no Triedo que  kτ Números Reais sendo, respectivamente, a Curvatura e Torção da Curva em R³ e que estes valores aparem como fatores de proporção - exemplo, ||T´(s)||=|k|.||N|| (lê-se: Norma de T´(s) é igual ao Módulo de k multiplicado pela Norma de N)!

  

Note-se que aqui k é a Curvatura de uma Curva Parametrizada Regular α(s) contida na Superfície Parametrizada Regular definida por uma função F:U⊂R²→R³, U Sub-Conjunto Aberto de R³, F(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)). A derivada primeira de α(s), isto é, α´(s)=T(s) o vetor tangente à esta curva na direção da trajetória de uma partícula percorrendo esta curva. Por outro lado, a derivada segunda α´´(s)=T´(s) que é o vetor aceleração desta curva apontando no mesmo sentido e direção de α´(s) sendo que ||α´(s)||=1 supondo a Curva Parametrizada pelo Comprimento de Arco s (na verdade s(t)) .

 

A Torção τ mede o quanto a Curva tende a sair do Plano e vir a tornar-se uma curva com três coordenas, isto é, estar Imersa em R³.

 

 

 

OBSERVAÇÃO: A partir do Triedo de Frenet apresentado acima, estamos mais próximos de falar sobre o Teorema de Gauss-Bonnet o qual, já mencionamos em outra ocasião, relaciona a Característica de Euler (conceito e/ou definição puramente Topológico) e a Curvatura Gaussiana (conceito e/ou definição puramente Geométrica)!

 

 

  

OBSERVAÇÃO: Logo estaremos editando uma Página para falar com mais detalhes da Faixa de Möbius: 1) A construção desta Superfície; 2) A primeira Faixa  Möbius segundo desenho ou concepção de Möbius; 3) O porquê desta superfície não ser Orientada; 4) Propriedades relacionadas ao Corte de tal Superfície; 5) Paradóxos envolvendo esta Superfície; e etc.

  A partir de 14 Jun de 2018

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