MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral

(Integração Aproximada: Um Método Instrumental)

  

Uso de Planímetros

  

Mesmo para os casos onde parece ser impossível integrar uma função (contínua) definida em um intervalo fechado da reta, existe uma outra alternativa através de um processo manual simples que consiste em traçar (desenhar) a região R em uma folha de papel quadriculado e contar os quadrados interiores a esta região, conforme figura abaixo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OBSERVAÇÃO: Quanto menores forem as quadrículas, mais próximo estará o resultado obtido por este processo em relação ao valor real da área da região R considerada.

 

 

 

 

 

 

 

 

PLANÍMETROS e o Cálculo Aproximado de Áreas. 

 

Os resultados podem ser mais precisos, ainda, quando se emprega um método instrumental o PLANÍMETRO. Os Planímetros são instrumentos de precisão que medem a área de uma região limitada (não necessariamente convexa) por uma curva fechada C.

 

Há vários tipos de Planímetros e suas teorias correspondentes. A figura 01 a seguir mostra o PLANÍMETRO POLAR. Este instrumento possui uma barra, o braço traçador (I), em cuja extremidade está montado o pino traçador (II) que acompanha a curva C. A outra extremidade do braço traçador se movimenta em uma trajetória circular por meio de uma segunda barra, o braço polar (III) que pode girar em torno da extremidade o (pólo) e é ligado à outra extremidade do braço traçador por meio de uma articulação de pino. Uma RODA INTEGRADORA (IV), montada no braço traçador, mede a área da região R quando o pino traçador descreve uma vez a curva fechada C; A área é obtida como a diferença entre as leituras inicial e final na escala da roda integradora. A precisão pode ser melhora, estatisticamente, repetindo este procedimento (experimento, no contexto da Estatística) m vezes, somando os resultados e dividindo soma por mmédia aritmética dos valores obtidos nas m repetições do experimento - vide, também, em Estatística "Lei dos Grandes Números no caso para uma Sequência de Médias! 

Figura 01: Planímetro Polar (feito por A. Ott, Kemptem, Alemanha, fabricantes de instrumentos de alta precisão).

Teoria dos Planímetros

A teoria por de trás deste método instrumental para o cálculo de áreas usando planímetros (Veja abaixo a figura 02: Um Planímetro Digital dos dias de hoje - foto de 2003) está baseada numa aplicação prática (cálculo de área no plano) do Teorema de Green no plano que diz que a área da região R limitada pela curva C dada pela Integral Dupla, tem o mesmo valor da Integral de Linha ao longo da curva C.

        

Figura 02: Planímetro Digital

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