Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral

MATEMÁTICA PURA

(Integrais  de Linha e de Superfície - Teorema de Green)

Aplicação 01

Aplicação do Teorema de Green no plano para o cálculo da área de uma região plana como integral curvilínea sobre o contorno da região.

Consideremos a expressão do Teorema de Green.

 

 

 

 

Fazendo f=0 e g=x, resulta em

                           

 

                                                                                         (*)

 

 

 

Semelhantemente, fazendo f=-y e g=0 na expressão do Teorema de Green, resulta

                           

 

                                                                                        (**)

 

 

 

A integral no primeiro membro de (*) e (**) é a área A da região R, e, por conseguinte,

 

 

 

 

 

 

 

Comentários:

a) Esta fórmula possui várias aplicações práticas: Por exemplo, a teoria e construção de certos tipos de planímetros os quais servem para o cálculo aproximado de área de regiões planas está baseada nesta fórmula. [Veja mais]

 

b) Esta fórmula ajuda a simplificar o cálculo de área de uma região plana, quando x e y são expressos em coordenadas polares). [Veja exemplo]

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