Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral

MATEMÁTICA PURA

Parte 01

(Integrais  de Linha e de Superfície - Teorema de Green)

Seja R uma região limitada e fechada no plano xy cuja fronteira consiste de um número finito de curvas suaves, conforme figura acima. Sejam f(x,y) e g(x,y) funções contínuas que possuem derivadas parciais                             contínuas em R. Então,

OBSERVAÇÕES: 

- O teorema é enunciado para este tipo mais geral de região R, onde a fronteira da região R é constituída, por exemplo, de duas curvas suaves C1 e C2, conforme figura acima. Note que a região R não precisa ser convexa e pode ser não simplesmente conexa

- Porém, para demonstração do teorema são considerados casos particulares de regiões mais simples. Mais precisamente, a região R pode ser subdividida em um número finito  de regiões mais simples R1, R2, R3 e R4, conforme a figura abaixo, e o teorema é aplicado a cada sub-região, adicionam-se, em seguida, os resultados.

Demonstremos o Teorema de Green aplicado a uma região mais simples a qual supomos poder ser representada sob ambas as formas:

 

 

 

 

 

 

conforme figura abaixo

 Figura: Representação  (1)

 Figura: Representação  (2)

Consideremos o caso (1) onde y=u(x) e y=v(x) representam o contorno de R. Então,

                                            

 

                                                                                                                                                (A)

 

 

Calculando a integral interna:

 

 

                                                

                                                                                                                                               (B)

OBSERVAÇÕES: Até aqui, mostrou-se parte do que é visto no Cálculo de uma Integral Dupla [primeiro membro de (A)], onde os limites da região R, para o caso (1) são duas curvas contínuas y=u(x) e y=v(x), interceptadas, no máximo em dois pontos, por uma reta paralela ao eixo dos Y - para respeitar o fato de que o conjunto dos pontos da forma (x,u(x)) e/ou (x,v(x)) representa o gráfico de uma função (assim, estas sub-regiões devem ser CONVEXAS), sendo x=a e x=b os valores extremos de x na região R. Comentário análogo vale para o caso (2)!

 

Substituindo em (A) vem que:

 

 

                                                                                                                                                                    (C)

Como y=u(x) representa a curva orientada C*, e y=v(x) representa C**, as integrais no último membro podem ser escritas como integrais de linha sobre C* e C** e, portanto,

Demonstração análoga é obtida considerando o caso (2) onde x=p(y) e x=q(y) representam o contorno de R! E portanto, o teorema fica demonstrado.

 

OBSERVAÇÕES: 

Se alguns arcos de C  são segmentos de reta, paralelos ao eixo dos Y (tais como em C^ e C^^, figura abaixo), o resultado é o mesmo que o anteriormente, pois as integrais sobre estes arcos são nulas. Portanto, o teorema fica demonstrado.

 Figura: Partes C^ e C^^ da curva C são paralelas ao eixo Y. 

Comentário: O sentido de percurso na fronteira C da região R é o anti-horário, mesma exigência no cálculo de área aproximada utilizando o método instrumental dos planímetros.

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