MATEMÁTICA

Disciplina: Geometria Descritiva

Tipos de Reta

(Exercícios Resolvidos)

Representação de Retas em Perspectiva e em Épora:

1) Reta Qualquer;

2) Reta Horizontal;

3) Reta Frontal;

4) Reta de Topo;

5) Reta Vertical;

6) Reta Fronto-Horizontal; e

7) Reta de Perfil.

Tipos de Retas:

1) Reta Qualquer: É aquela reta q que no Espaço Tridimensional - Espaço Euclidiano R³ com pontos M de Coordenadas M=(x, y , z) com x, y e z Números Reais - a qual intercepta os dois Planos Vertical π2 e Plano Horizontal π1 os quais formam os Diedros (os quatro lugares cujos lados são formados pelos Planos Vertical e Horizontal perpendiculares entre si). Adotaremos a Perspectiva Isométria¹ ou próxima dela! Pontos, Retas e Planos sempre desenhados no 1o. Diedro², com exceções nos exercícios onde na solução do mesmo resulte uma Ponto ou Reta ou Plano com projeções que apareçam em Diedros diferentes 2o., 3o. e/ou 4o. Em Épora, com respeito à Reta q temos a Projeção Vertical q2 e a Projeção Horizontal q1 são ambas Oblíquas à Linha de Terra π1π2 (é a interseção dos Plano Vertical e Plano Horizontal). Os Planos Plano Vertical πe Plano Horizontal πsão chamados de Planos de Projeção.

Tipos de Retas:

2) Reta Horizontal: É aquela reta h que no Espaço Tridimensional - Espaço Euclidiano R³ com pontos M de Coordenadas M=(x, y , z) com x, y e z Números Reais - a qual intercepta o Plano Vertical π2 e é Paralela ao Plano Horizontal π1. Em Épora, com respeito à Reta h temos a Projeção Vertical h2 Paralela à Linha de Terra π1π2 (é a interseção dos Plano Vertical e Plano Horizontal) e a Projeção Horizontal h1 Oblíqua à Linha de Terra.

Tipos de Retas:

3) Reta Frontal: É aquela reta f que no Espaço Tridimensional - Espaço Euclidiano R³ com pontos M de Coordenadas M=(x, y , z) com x, y e z Números Reais - a qual intercepta o Plano Horizontal π1 e é Paralela ao Plano Vertical π2. Em Épora, com respeito à Reta f temos a Projeção Horizontal f1 Paralela à Linha de Terra π1π2 (é a interseção dos Plano Vertical e Plano Horizontal) e a Projeção Vertical f2 Oblíqua à Linha de Terra.

Tipos de Retas:

4) Reta Fronto-Horizontal: É aquela reta fh que no Espaço Tridimensional - Espaço Euclidiano R³ com pontos M de Coordenadas M=(x, y , z) com x, y e z Números Reais -  é Paralela ao Plano Vertical πe ao Plano Horizontal  π1. Em Épora, com respeito à Reta fh temos a Projeção Horizontal fh1 Paralela à Linha de Terra π1π2 (é a interseção dos Plano Vertical e Plano Horizontal) e a Projeção Vertical fh2 Paralela, também, à Linha de Terra.

Tipos de Retas:

5) Reta de Topo: É aquela reta t que no Espaço Tridimensional - Espaço Euclidiano R³ com pontos M de Coordenadas M=(x, y , z) com x, y e z Números Reais -  é Paralela ao Plano Horizontal πe Perpendicular ao Plano Vertical πno Ponto V. Em Épora, com respeito à Reta t temos a Projeção Horizontal t1 Perpendicular à Linha de Terra π1π2 (é a interseção dos Plano Vertical e Plano Horizontal) e a Projeção Vertical t2 se reduz a um Ponto V no Plano Vertical π2. OBSERVAÇÃO: Isto considerando a Reta t localizada (parte dela) no 1o. Diedro, como mostram as Figuras abaixo!

Tipos de Retas:

6) Reta Vertical: É aquela reta t que no Espaço Tridimensional - Espaço Euclidiano R³ com pontos M de Coordenadas M=(x, y , z) com x, y e z Números Reais -  é Paralela ao Plano Horizontal πe Perpendicular ao Plano Vertical πno Ponto H. Em Épora, com respeito à Reta t temos a Projeção Vertical t2 Perpendicular à Linha de Terra π1π2 (é a interseção dos Plano Vertical e Plano Horizontal) e a Projeção Horozontal t1 se reduz a um Ponto H no Plano Horizontal π1. OBSERVAÇÃO: Isto considerando a Reta t localizada (parte dela) no 1o. Diedro, como mostram as Figuras abaixo!

Tipos de Retas:

7) Reta de Perfil: É aquela reta p que no Espaço Tridimensional - Espaço Euclidiano R³ com pontos M de Coordenadas M=(x, y , z) com x, y e z Números Reais -  é Oblíqua ao Plano Horizontal π2 no Ponto  V e Oblíqua ao Plano Vertical πno Ponto H. e esta Reta P está contida no Plano φ o qual é Perpendicular, ao mesmo temo, aos Planos π1 e π2Em Épora, com respeito à Reta p temos a Projeção Vertical p2 Perpendicular à Linha de Terra π1π2 (é a interseção dos Plano Vertical e Plano Horizontal) e a Projeção Horozontal p1 Perpendicular, também, à Linha de Terra π1π2. OBSERVAÇÃO: Isto considerando a Reta p localizada (parte dela) no 1o. Diedro, como mostram as Figuras abaixo! OBSERVAÇÃO: Esta é a única Reta dentre as 07 demais Retas a qual é necessário dar dois Ponto A e B para bem definí-la haja vista que o Observador olhando de Frente para o Plano Vertical π2, mesmo com os dois pontos A e B dados, não consegue saber sua INCLINAÇÃO (tanto com respeito ao Plano π1 e ao Palno π1) - temos que olhar esta reta vista de PERFIL, ou seja, o Observador agora olhando de Frente para o Plano φ... Esta nova maneira de ver de Perfil a reta P será obtida (veremos em outra oportunidade) fazendo o REBATIMENTO da Reta P no Plano π2 (ou em outro contexto, faremos uma MUDANÇA DE PLANO VERTICAL o π2 para obeter o mesmo resultado, ou equivalente, saber exatamente o comprimento do Segmento de Reta AB!).

UM RESUMO DAS 07 RETAS VISTAS ACIMA

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(1) Perspectiva isométrica: 

Quando olhamos para um objeto, temos a sensação de profundidade e relevo. As partes que estão mais próximas de nós parecem maiores e as partes mais distantes aparentam serem menores. A fotografia mostra um objeto do mesmo modo como ele é visto pelo olho humano, pois transmite a idéia de três dimensões: comprimento, largura e altura. O desenho, para transmitir essa idéia, precisa recorrer a um modo especial de representação: a perspectiva. Ela representa graficamente as três dimensões de um objeto em um único plano, de maneira a transmitir a idéia de profundidade e relevo. Existem diferentes tipos de perspectiva. Veja como fica a representação de um cubo em três tipos de perspectiva:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cada tipo de perspectiva mostra o objeto de um jeito. Comparando as três formas de representação, você pode notar que a perspectiva isométrica é a que dá ideia menos deformada do objeto. Isso quer dizer que, usando-se mesma Métrica (Medida), a Perspectiva Isométrica mantém as mesmas proporções do comprimento, da largura e da altura do objeto representado. Além disso, o traçado da perspectiva isométrica é relativamente simples. Por essas razões, neste contexto da Geometria Descritiva nos utilizaremos da Perspectiva Isométrica para a Representação Espacial  em R³ dos elementos: Ponto; Reta e Plano. Ver Figura abaixo!

Figura: Perspectiva Isométria

Uma Leitura Suplementar sobre Perspectiva Isométrica:

 

a) Perspectiva (gráfica) - Wikipédia          

 

b) Desenhando Perspectiva Isométrica - Arquivo no Formato ".PDF"

 

c) Vídeo sobre perspectiva Isométrica

 

 

 

 

 

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(2) Diedro: Em Geometria, diedro, ângulo diedro ou ângulo diédrico é uma expansão do conceito de ângulo a um espaço tridimensional. É definido como o espaço entre dois semiplanos não contidos num mesmo plano com origem numa aresta comum. Continuar a Leitura em Wikipédia (Diedros) onde pode-se ver que os planos não precisam ser Perpendiculares em si para se ter um Diedro que é, não querendo sermos prolíxos, a parte entre dois lados formados por dois planos. Já o Triedro é parte formada por três lados - Ver Formato ".PDF"!

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