Disciplina: Geometria Algébrica

  

MATEMÁTICA PURA

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Topicos de Algebra I (Introdução à Geometria Algébrica)

Publico: Estudantes de Graduação e Pós-Graduação

Objetivo: O curso pretende ser uma Introdução à Geometria Algébrica, que seja interessante para o público mais vasto possível. Em particular o curso terá as seguintes caraterísticas fundamentais:

  • vai utilizar o mínimo de tecnologia possível: em particular, não vai necessitar de ferramentas avançadas de Álgebra Comutativa, e todas as eventuais ferramentas de Álgebra vão ser construídas e demonstradas no próprio curso;

  • vai ser privilegiada mais a intuição geométrica concreta do que o lado algébrico abstrato, na tradicão da Geometria Algébrica Clássica e Projetiva; vai apresentar o máximo de exemplos possíveis, de forma que o estudante tenha ao mesmo tempo uma compreensão direta dos conceitos e o prazer de conhecer a beleza das construções geométricas clássicas. Muitos destes exemplos e muitas destas técnicas são de grande interesse geral, mesmo para estudantes que irão especializar-se em áreas diferentes da Geometria.

 

Tentativa de Ementa:

  • Espaço projetivo, projetividades, projeções. Cônicas, Quádricas. Curvas planas e espaciais. Hipersuperfícies. Cones. Curvas racionais normais. Pontos múltiplos. Singularidades. Cone tangente a um ponto singular.

  • Variedades A fins, Projetivas. Ideais de de nfição. Teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz). Irredutibilidade. Funções Regulares.

  • Morfi smos de variedades. Mapas de Veronese e Segre. Produtos de Variedades.

  • Seções hiperplanas. Famílias de Hipersuperfícies.

  • Funções racionais. Mapas racionais e birracionais. Blow-up de pontos e subvariedades.

  • Dimensão, grau. Morfi smos finitos. Teorema de Normalizão de Noether. Recobrimentos ramifi cados.

  • Junção de duas subvariedades. Variedade das secantes. Scrolls racionais normais e de dimensão maior.

  • Grassmannianas, Variedades de Incidência, Variedades das retas de Fano.

  • Quocientes de variedades afi ns e projetivas por grupos fi nitos. Produtos Simétricos. Espaços Projetivos com pesos.

  • Espaço tangente, variedades lisas, variedades das retas tangentes e bitangentes. Teoremas de Bertini. Resolução de Singularidades.

  • Divisores, brados em retas, sistemas lineares, imersões no espaço projetivos induzidos por sistemas lineares amplos.

 

Bibliografa.

1. Joe Harris, Algebraic Geometry. A rst course. Springer-Verlag.

2. Carletti, Gallarati, Beltrametti, Lectures on curves, surfaces and projective varieties. A classical viewof Algebraic Geometry. EMS Textbooks.

3. Miles Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London Mathematical Society.

4. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I, Springer-Verlag.Pre-requisitos Aconselhavel, mas não necessário, Estruturas Algebricas I.

 

Geometria Algébrica

A Geometria Algébrica é uma Área da Matemática Pura que combina técnicas de Álgebra Abstrata (Estruturas Algébricas), especialmente de Álgebra Comutativa, com a Linguagem e os Problemas da Geometria. Ela ocupa um papel central na Matemática moderna e possui várias conexões conceituais com áreas tão diversas quanto Análise Complexa (ou Variáveis Complexas), Topologia e Teoria dos Números. Inicialmente um estudo dos Sistemas de Equações Polinomiais em Várias Variáveis, o objeto de estudo da Geometria Algébrica começa onde a Resolução de Equações termina, e torna-se ainda mais importante compreender as propriedades intrínsecas da totalidade de soluções de um Sistema de Equações, do que encontrar alguma solução; isso leva alguns das águas mais profundas em toda a Matemática, tanto conceitualmente quanto em termos de técnica.

 

Os Objetos de Estudo Fundamentais em Geometria Algébrica são as Variedades Algébricas, manifestações Geométricas das Soluções de Sistemas de Equações Polinômiais. As Curvas Algébricas Planas, que incluem RetasCírculosParábolasLemniscatas, e Ovais de Cassini, formam uma das Classes mais estudadas de Aariedades Algébricas. Um Ponto do Plano pertence a uma Curva Algébrica se suas Coordenadas satisfazem uma Equação Polinomial dada. Questões básicas envolvem a Posição Relativa entre Curvas Distintas e as Relações entre as Curvas dadas por Equações Diferentes

História

Ela começou principalmente com a Escola Italiana (Giuseppe VeroneseGino FanoCorrado Segre, e outros.) nos anos 1910 e 1920. Depois foi elevada a um nível mais abstrato por Kunihiko Kodaira e Donald Spencer, que inventaram a Geometria Algébrica Complexa.

 

Uma mudança crucial foi a introdução do Conceito dos Feixes por Jean Leray e depois Roger Godement. Foi Jean-Pierre Serre quem relacionou a Geometria Algébrica à Geometria Analítica (veja Matemática 1o. e 2o. Graus) no seu famoso Artigo GAGA (Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique) Arquivo no Formato ".PDF" - 289kb (veja também: GAGA - ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER Arquivo no Formato ".PDF" - 10MB) Em 1955, generalizando um resultado por Chow. Mas a maior revolução foi a Linguagem dos Esquemas, no famoso EGA (Elementos da Geometria Algébrica) por Alexander Grothendieck em 1959. O Conceito dos Esquemas ajudou muito a provar as Conjecturas de Weil em 1978 por Pierre Deligne. A linguagem da Geometria Algébrica também ajudou a provar o Último Teorema de Fermat (por Andrew Wiles em 1993/1994).

 

Um caso particular da Geometria Algébrica é a Geometria Aritmética que relaciona-a à Teoria dos Números, por exemplo, no estudo das Curvas Elípticas.

Esta Superfície de Togliatti é uma Superfície Algébrica de Grau 5 (Cinco )

Referências

Livros Clássicos, anteriores ao uso de Esquemas:

  • W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 1 Cambridge University Press [S.l.].

  • W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 2 Cambridge University Press [S.l.].

  • W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 3 Cambridge University Press [S.l.].

 

Livros texto modernos que não utilizam a linguagem de esquemas:

  • David A. Cox; John Little, Donal O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms second ed. Springer-Verlag [S.l.].

  • Phillip Griffiths; Joe Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry Wiley-Interscience [S.l.].

  • Joe Harris (1995). Algebraic Geometry: A First Course Springer-Verlag [S.l.].

  • David Mumford (1995). Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties 2nd ed. Springer-Verlag [S.l.] .

  • Miles Reid (1988). Undergraduate Algebraic Geometry Cambridge University Press [S.l.].

  • Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space 2nd ed. Springer-Verlag [S.l.]. 

 

Livros texto e referências para esquemas:

  • David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes Springer-Verlag [S.l.]. 

  • Alexander Grothendieck (1960). Éléments de géométrie algébrique Publications Mathématiques de l'IHÉS [S.l.] Zbl 0118.36206.

  • Alexander Grothendieck (1971). Éléments de géométrie algébrique 1 2nd ed. Springer-Verlag [S.l.]. 

  • Robin Hartshorne (1977). Algebraic Geometry Springer-Verlag [S.l.].

  • David Mumford (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians 2nd ed. Springer-Verlag [S.l.].

  • Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry II: Schemes and complex manifolds. 2nd ed. Springer-Verlag [S.l.] .

Na internet:

Leitura Complementar - Artigos

01) Introdução à Geometria Algébrica: Fernanda Scabio Gonçalves. Arquivo no Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo = 744kb.

02) DA TEORIA DE RETICULADOS À GEOMETRIA ALGÉBRICA FUZZY. Dissertação de Mestrado, ANA CRISTINA CORRÊA MUNARETTO -

   Arquivo no Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo = 674kb.
03) GAGA - Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique: Yan Zhao. - Arquivo no Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo = 289kb.

04) GAGA - Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique: Jean-Pierre Serre, ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER. - Arquivo no

    Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo = 10,2MB.

05) A Geometria dos Números - uma introdução à Geometria Algébrica: Carolina Araújo - IMPA (Instituto Nacional de Matemática

     Pura e Aplicada) - Arquivo no Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo = 9kb.​

06) Geometria Algébrica I - Um Curso: Israel Vainsencher. - Arquivo no Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo = 636kb.

07) Geometria Enumerativa de Curvas Racionais: Joachim Kock. - Arquivo no Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo = 134kb.

08) GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE: JEAN-PIERRE SERRE. - Arquivo no Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo = 1,13MB.

09) Oscar Zariski e a Geometria Algébrica - Sobre a Vida de Oscar Zariski: - Arquivo no Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo = 206kb.

10) Introdução à Geometria Algébrica: Juliana Coelho. - Arquivo no Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo = 206kb.

11) Estudo de algumas Funções Complexas de uma Variável Complexa - Aspectos Algébricos e Geométricos: Cecília S. Fernandez.          Universidade Federal Fluminense - 1o Colóquio da Região Sudeste, Abril de 2011. - Arquivo no Formato ".PDF" - Tamanho do Arquivo =        205kb.  

Texto a ser Editado. Aguardem!

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