Ensino&Informação

MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Geometria Diferencial

A Construção da Superfície de Möbius; 

A Primeira Faixa Möbius segundo desenho ou concepção de Möbius; 

Propriedades relacionadas ao Corte de tal Superfície; Paradoxos envolvendo esta Superfície; e etc.

Introdução

DAS SUPERFÍCIES AOS NÓS

Segundo Jacques Lacan

 

Primeiramente, devemos deixar bem claro nossa desaprovação de como Lacan se apropria dos Conceitos e Definições da Área da Matemática Pura denominada Topologia. O título de seu livro “Topologia de Jacques Lacan” é no mínimo inoportuno uma vez que a “Topologia” nunca foi de Lacan. E ele se utiliza de conceitos Topológicos para tentar descrever alguns aspectos de nossa Psique e isto é o máximo que posso dizer de sua obra. No entanto, Ele define um conceito denominado de “NÓ” em uma Superfície o qual sem dúvida nunca foi tratado pela Topologia dos Matemáticos. Portanto, como ele utiliza este conceito e juntamente com os chamados “Cortes” nos possibilita tratar este conceito de Corte para uma Superfície Parametrizada Regular especificamente a Faixa ou Banda de Möbius. Em seu livro ele entende que deu um avanço à Topologia dos Matemáticos passando do uso das estruturas de Superfícies aos então referidos por ele de “Nós”. Segundo ele, essa passagem cria problemas na medida em que não existe Concepção Matemática (e isto eu concordo) que englobe essas duas partes, entretanto segundo ele muito ligadas, da Topologia Geral. Não iremos nos omitir diante deste conceito de nó uma vez que admitimos que o mesmo possa estar ou que deveria estar ligado formalmente sim ao tratamento das Superfícies pelos Matemáticos no intuito de nos dar mais informações à superfícies não tão simples tais como, por exemplo, Superfície de Möbius; Garrafa de Klein¹ e outras. Assim, segundo ele, uma Faixa de Möbius com três semitorções apresenta sua margem se nodulando em nó por ele denominado de TREVO. Ainda segundo ele, sobre a dobragem deste nó de trevo, pode-se construir uma outra Imersão do Plano Projetivo conhecido sob o nome de “Superfície de Boy, cuja estrutura é mostrada nos desenhos que se seguem:

Esta superfície de Boy, segundo Lacan, expõe o que é chamado de "Ponto Triplo". Quando três superfícies se cortam, definem um ponto. Mas, quando são duas, definem uma linha.

Lacan continua sua exposição sobre nós com variações tais como “Ponto Triplo” e etc. Par nós o que interessa é que ele coloca perguntas muito pertinentes como, por exemplo, “de que modo os Nós e as Superfícies estão ligados?”. Segundo ele Lacan, muitas respostas, ou, mais apropriadamente, muitos trajetos permitem dar conta desta ligação e do percurso de Lacan, de um a outro. As Superfícies e os Nós tratam, segundo Lacan, das possíveis articulações entre os elementos de uma estrutura topológica. Ainda segundo ele, a representação espacial das superfícies põe em questão, e até mesmo para trabalhar, a concepção esquemática da estrutura, aquela que já opera no trabalho de Lévi-Strauss. A noção de Espaço é aí fundamental. Os Nós, em contrapartida, apoiam-se unicamente sobre a operação do CORTE da Superfície – estaremos aqui interessados em estudar o CORTE de tais superfícies em particular o CORTE ou CORTES seguidos da Superfície de Möbius. Nas superfícies, Lacan faz um uso operatório do CORTE. E nisso ele inova para aqueles que são sectários de sua, digamos, Teoria a serviço da Psicanálise. Este uso é essencial, segundo Lacan, à Topologia. Na Matemática o CORTE serve a definições de Superfícies, cuidando em diferenciá-las para poder Classificá-las – e este nós admitimos é o objetivo constante na matemática: a Classificação de Objetos segundo Definições e Propriedades, por exemplo, a Classe das Funções Contínuas; a Classe das Funções Diferenciáveis; a Classe das Sequência de Funções Uniformemente Convergentes; e etc. Nós, na verdade, enfatizamos que a Ciência utiliza esta Metodologia de Classificação sem a qual não exitiria o Conhecimento!

Na teoria dos Nós de Lacan, um Nó se define negativamente pela necessidade do CORTE: é Nó todo entrelaçamento de fios que necessita de um CORTE para que ele desapareça.

Do mesmo modo, o corte conduz, topologicamente, ao Nó: há CORTES sobre as superfícies que criam Nós. O resultado da operação do CORTE é um Nó (ensinoeinformacao: de que maneira isto está provado daí Matematicamente. Como podemos ter certeza de que a operação de CORTAR resulta sempre e para todas as superfícies um NÓ?): assim, ainda segundo Lacan, um corte um CORTE Mediano sobre a Faixa de Möbius deixa esta Faixa de Möbius inteira, mas com quatro semi torções. Essa nova Faixa de Möbius, mais uma vez CORTADA Medianamente (ou longitudenalmente -adj. m. e f. 1. Relativo à longitude. 2. Tomado no sentido da maior dimensão. 3. Colocado ao comprido ou no sentido do eixo principal.-, se assim podemos dizer), se separa em dois pedaços, embora NODULADOS. 

 

Sobre a Faixa de Möbius, dois CORTES simultâneos que contornam a superfície dividem, da mesma forma que mencionado anteriormente acima, em dois pedaços, e que também estão da nesma forma NODULADOS. Desses dois pedaços, um é uma faixa de Möbius com uma semitorção, como aquela inicial, o outro pedaço é uma Faixa de Möbius com quatro semitorções. Obtém-se, assim, a criação de dois OBJETOS, um BILÁTERO (com Dois Lados) e outro UNITÁRIO (um só lado - a quem entenda por não ter lado definido uma vez que o Vetor Tangente não está BEM DEFINIDO em nehum ponto da superfície: é a questão da furmiguinha percorrendo a superfície retornando ao ponto de partida, mas com Vetor Tangente oposto ao daquele da partida da formiguinha...). Veja o resultado disso nas Figuras abaixo:

Os Topólogos (Matemáticos) constantemente representam a Faixa de Möbius com um desenho à base de linhas retas, o que multiplica os "por cima-por-baixo", e os "pontilhados". Ele ficam claramente visíveis neste desenho. Foi assim, segundo Lacan, que Möbius a desenhou pela primeira vez em uma piblicação científica, com linhas retas; ele a chamou "superfície unilátera" (de unus: um, e laterus, lateris: flanco, lado).

Figura 6 expressa de outra forma

Construção e os Cortes na faixa de Möbius

Figura: Construção da Faixa de Möbius a partir   de um Retângulo ABCD no Plano.

Figuras:

1,2 e 3 - Construção da faixa de Möbius;

4,5 e 6 - Corte da Faixa de Möbius; e

7,8 e 9 - Resultado do corte:a faixa de Möbius                     com 4 semitorções (Euclidiana).

Veja o Vídeo que mostra a Faixa de Möbius:

1 - Construção da Faixa de Möbius;

2 - Uma Superfície Não_Orientada;

3 - Possui somente uma Borda;

4 - O Resultado de apenas um Corte;

5 - O resultado de dois cortes simultâneos e/ou

     se,desejar, dois cortes consecutivos.

 

OBSERVAÇÃO: Na verdade esta fita não tem lado, embora falam que ela tem apenas um lado. Até no vídeo há contradição, pois ele fala "a formiguinha está do outro lado"; depois reafirma dizendo "ela a formiguinha depois de duas voltas aparece no mesmo lado - contradiz-se logo em seguida dizendo completando "mas ela passou por dois lados...ela passou pela parte de dentro e pela parte de fora... ele depois tenta corrigir dizendo "na verdade não é nem de dentro e nem de fora pois só possui um lado"

Um Paradoxo envolvendo a Faixa de Möbius

PARADOXO

 

Segundo Lacan, a faixa de Möbius é uma Superfície com única face (LADO). E única Margem (Borda) que descreve uma curva dupla, encerra uma superfície com uma única face. Este PARADOXO torna-se sensível de desenharmos um LÁPIS atravessando a superfície. Ela atravessa a faixa de Möbius como o faria em qualquer superfície e, no entanto ela tem apenas uma face. Localmente, no ponto onde se encontra o LÁPIS, existem duas faces, mas a Faixa de em seu conjunto, por Continuidade, tem apenas uma.

Comentário adicional da "ensinoeinformacao":

Veja vídeo no link abaixo mostrando um CORTE na Superfície denominada de Garrafa de Klein dando origem ou se transformando noutra Superfície surpreendentemente a faixa de Möbius: Então, o Retângulo é transformado por uma Isometria na garrafa de Klein que após ser cortada se transforma na faixa de Möbius – lembrando um retângulo é levado por uma Isometria na faixa de Möbius. Podemos afirmar, então que as três Superfícies “PLANO”; “FAIXA DE MÖBIUS”; e a “GARRAFA DE KLEIN” são Homeomorfas (que podem ser deformadas – permitindo-se aí cortes – uma na outra: Não são Difeomorfas (Difeomorfismo: é uma Transformação Diferenciável com Inversa Diferenciável – leva uma na outra não permitindo cortes), pois exigiriam que não houvesse CORTE!). Como são Homeomorfas estas três Superfícies tem a mesma Característica de Euler igual a 0 (ZERO). Observando que tanto o Plano quanto a Garrafa de Klein possuem DOIS LADOS, enquanto que a Faixa de Möbius tem somente UM LADO (ou que não possui lado definido). Além do mais, destas três a única Superfície sem BORDA é a Garrafa de Klein. Além do mais, como se pode ver no Vídeo, que o CILINDRO é outra superfície HOMEMORFA (Homeomorfismo: uma Transformação Contínua com Inversa Contínua – leva uma na outra se permitindo cortes) às acima mencionadas!

 

https://www.youtube.com/watch?v=BQayK3xtN-8

Garrafa de Klein

______________________

(1) Em matemática, a garrafa de Klein é um exemplo de uma superfície não orientável; informalmente, ela é uma superfície (uma variedade bidimensional) em que as noções de direita e esquerda não podem ser definidas de maneira consistente. Entre as estruturas relacionadas que também não são orientáveis estão incluídos o plano projetivo real e a faixa de Möbius. Enquanto uma faixa de Möbius é uma superfície com borda, uma garrafa de Klein não possui borda (a título de comparação, uma esfera é uma superfície orientável sem borda). Uma Garrafa de Klein é um Espaço Topológico obtido pela colagem de duas fitas de Möbius. O nome se refere ao matemático Felix Klein.

 

Fonte: Wikepédia

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