ESTATÍSTICA

Disciplina: Probabilidade e Estatística

(Teorema de Bayes)

Parte 01 - Exemplo 01 Introdutório

 

 

Uma das relações mais importantes envolvendo Probabilidades Condicionais é dada pelo teorema de Bayes, ¹  que expressa uma probabilidade condicional em termos de outras probabilidades condicionais e Probabilidades Marginais. Vejamos um exemplo introdutório antes de apresentarmos, formalmente, este teorema.

 

Exemplo 01: Tomemos 5 urnas exatamente iguais, cada uma com 6 bolas. Duas dessas urnas (tipo T1) têm 3 bolas PRETAS, duas outras (tipo T2) têm 2 bolas PRETAS, e a última urna (tipo T3) tem 6 bolas PRETAS. Escolhemos uma ao acaso e dela retiramos uma bola. Qual a probabilidade da urna escolhida ser do tipo T3, sabendo-se que a bola sorteada é PRETA?

Na Figura a seguir estão presentes o Espaço Amostral e os Eventos de interesse.

CÁLCULO DE PROBABILIDADE - TEOREMA DE BAYES - EXERCÍCIO RESOLVIDO 01

O objetivo é encontrar Pr(T1/P), sabendo que

Pr[T1]=2/5     (Lê-se: probabilidade da urna escolhida ser do tipo T1.             Pr[P/T1]=1/2    (Lê-se: probabilidade da bola sorteada ser

Preta dado que a urna escolhida foi a do tipo T1.

 

Pr[T2]=2/5     (Lê-se: probabilidade da urna escolhida ser do tipo T2.             Pr[P/T2]=1/3    (Lê-se: probabilidade da bola sorteada ser

Preta dado que a urna escolhida foi a do tipo T2.

 

Pr[T3]=1/5     (Lê-se: probabilidade da urna escolhida ser do tipo T3.              Pr[P/T3]=1       (Lê-se: probabilidade da bola sorteada ser

Preta dado que a urna escolhida foi a do tipo T3.

 

Segundo a definição de probabilidade condicional, vem que:

(A)

Não é difícil encontrar Pr[P] uma vez que o numerador é conhecido. E saber obter o valor da probabilidade deste evento (ou seja ocorrência de bola preta) é o ponto crucial na expressão geral do Teorema de Bayes. Sendo T1, T2 e T3 Eventos Mutuamente Exclusivos, e que a União destes é o Espaço Amostral todo, é possível decompor o Evento P, como Reunião de três outros, mutuamente exclusivos, ou seja:

com os disjuntos             , já que os Ai são disjuntos.

(B)

Assim,

  (OBSERVAÇÃO: Se M e N são disjuntos, então Pr[M U N]=Pr[M] + Pr[N])

Finalmente, substituindo este resultado em (A) obtém-se:

_________________________

(1) Este teorema tem importantes aplicações em Sistemas Especialistas do tipo "back-chaining" (regras de produção com encadeamento para trás) com aplicação a 

      Diagnósticos (diagnósticos de doenças em Medicina; em diagnósticos de defeitos em automóvel e etc.).

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