ESTATÍSTICA

Disciplina: Estatística e Probabilidade

Curso Completo (Apostila)

Professor: Altamir A. R. Araldi

Ano: 2004 e 2005, Local: CAV-UDESC, Cidade: Lages-SC

  

CAPÍTULO 5 - ASSIMETRIA E CURTOSE

 

 

 

 

 

 

I - ASSIMETRIA E CURTOSE

  

5.1 – ASSIMETRIA

5.1.1 - INTRODUÇÃO

Nesta unidade, determinar-se-á a grandeza e o Sinal de Assimetria de uma Distribuição ou de uma Curva através:

    a) da relação entre as Medidas de Tendência Central e o Desvio-Padrão;

    b) da relação entre os Quartis e a Mediana.

 

5.1.2 – DEFINIÇÃO

Uma Distribuição ou uma curva é simétrica quando existe uma exata repartição de valores em torno do ponto central, ou seja, a média, a mediana e a moda coincidem. Os valores se agrupam mais acima ou mais abaixo do ponto central, e este “desvio” (ou viés) da simetria denomina-se assimetria.

Figura 1: Curva Simétrica

5.1.3 – COFICENTE DE ASSIMETRIA DE PEARSON

5.1.3.1 – PARTE TEÓRICA:

​  a) Diz-se que a assimetria é positiva quando predominam os valores mais altos das OBSERVAÇÕES, isto é, a Distribuição ou Curva de Frequência tem uma “cauda” mais longa à direita da ordenada (frequência) máxima do que à esquerda.

 

Figura 2: Curva Assimétrica (Positiva)

   b) Diz-se que a assimetria é negativa quando predominam os valores baixos das OBSERVAÇÕES, isto é, a Curva de Frequência tem uma “cauda” mais longa à esquerda da ordenada (frequência) máxima do que à direita.

Figura 3: Curva Assimétrica (Negativa)

5.1.3.2 – PARTE ANALÍTICA:

Para Distribuições Assimétricas, a Média (    ) tende a situar-se do mesmo lado da “cauda”. Uma Medida de Assimetria é proporcionada pela diferença entre a Média (    ) e a Moda (Mo), podendo ser tomada sem dimensão (adimensional) mediante a divisão por uma Medida de Dispersão (Desvio Padrão).

Assim, temos:

   a) 1o Coeficiente de Assimetria de PEARSON:

(1)

em que, para uma Distribuição Simétrica

   

   b) 2o – Coeficiente de Assimetria de PEARSON:

É obtido substituindo o valor da Moda de PEARSON na expressão anterior (1) para evitar o emprego da mesma.

Assim,

 

(2)

Então,

                         

 

 

                                            

Quando os valores de “A” obtidos através de (1) e (3) variam entre ±1, então se diz que a assimetria é fraca e o fenômeno em estudo é considerado não muito assimétrico, podendo ser aplicado, neste caso, o Modelo Estatístico da Curva Normal.

 

OSERVAÇÃO: Se os valores de “A” ultrapassam os limites de ±1, isto é, A ∈ [-1,1] então a Distribuição terá outro tratamento

 

(3)

5.1.4 - OUTRA MEDIDA DE ASSIMETRIA: C.Q.A.

Coeficiente Quartílico de Assimetria (C.Q.A.) ou Fórmula de Bowley. Nas Distribuições Simétricas, Desvio Quartílico Superior (Q3 – Md) é igual ao Desvio Quartílico Inferior (Md – Q1), pois estão equidistantes da Mediana (Md). Assim, relacionando-se o Desvio Quartílico Superior com o Inferior, obtém-se uma Medida de Assimetria denominada de Coeficiente Quartílico de Assimetria (C. Q. A.) definido por:

Esta Medida da Assimetria será sempre igual a ZERO se os Quar­tis forem equidistantes da Mediana; positiva se Q3 se afastar mais da Mediana do que Q1 e negativa em caso contrário.

Pelo Método C.Q.A., considera-se a curva não muito assimétrica quando os limites variam entre ±0,20. Podendo aplicar-se o Modelo (Teórico) Estatístico da Curva Normal.

 

Vantagem: Esta Medida de Assimetria é uti1izada, quando se empregam os Desvios dos Quartis em relação à Mediana como Medida de Dispersão e não se pode calcular o Desvio Padrão.

 

OBSERVAÇÃO :

- os resultados não possuirão valores numéricos iguais porque são computados a partir de pontos de referência diferentes. Todos os resultados concordarão, entretanto, quanto à indicação da assimetria, se positiva ou negativa, da Distribuição dada.

- Na comparação da assimetria de duas ou mais distribuições é necessário, evidentemente, aplicar a mesma fórmula.

- Quanto mais normal for a distribuição, ou seja, mais simétrica, mais próximo de zero estará o valor do coeficiente de As­simetria utilizado.

 

 

 

5.2 - CURTOSE

5.2.1 – DEFINIÇAO

Curtose é o menor ou maior grau de "achatamento” da Distribuição ou Curva de Frequência considerada em relação a uma Curva Normal representativa da Distribuição.

 

5.2.2 – CÁLCULO DA CURTOSE

Baseado nos Quartis e Centis, obtém-se o valor da Curtose de uma Distribuição ou Curva de Frequência e que é dado pela expressão:

5.2.3 – TIPOS DE CURTOSE

   a) Se o valor de K=0,263 então o Grau de "achatamento" ou Grau de Curtose é igual ao da Curva Normal (simétrica) de mesma área e

      denomina-se a este tipo de Curva MESOCÚRTICA.

   b) Se K > 0,263 a distribuição é mais achatada do que a Curva Normal de mesma área e diz-se que é uma Curva PLATICÚRTICA.

   c) Se K < 0,263 a distribuição é menos achatada (mais afilada) do que a Curva Normal de mesma área, denominando-se de Curva

      LEPTOCÚRTICA.

Em Breve estaremos apresentando uma Página especialmente para falar sobre:

a) Significado do Ponto Médio de Classe;

b) Quais as vantagens e desvantagens ao se escolher um número de

     classes k muito grande ou muito pequeno;

c) Quando é preferível trabalhar com classes de amplitude desiguais; e etc.

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Ítem (a);    (b);    (c);    (d)  YouTube

Capítulo 1 - SÉRIES ESTATÍSTICAS E NÃO ESTATÍSTICAS - GRÁFICOS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: TIPOS OU CLASSIFICAÇÃO

Capítulo 2 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS OU TABELA DE FREQUÊNCIAS

Capítulo 3 - Medidas de Tendência Central, Separatrizes

Capítulo 4 - MEDIDAS DE DISPERSÃO (OU VARIAVILIDADE)

Capítulo 5 - ASSIMETRIA e CURTOSE

Capítulo 6 - TEORIA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE

Capítulo 7 - DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE PROBABILIDADE

___________________

Exercícios Propostos: Capítulos 3 e 4 (Arquivo ".PDF")

 

Resolução dos Exercícios: Exercício 01 / Exercício 02 / Exercício 03 / Exercício 04 /

                                          Exercício 05 / Exercício 06Exercício 07 / Exercício 08 /

                                          Exercício 09 / Exercício 10 / Exercício 11 / Exercício 12 /

                                           Exercício 13 (Já resolvido: Veja a Vídeo Aula) /

 

 

 

 

 

 

______________________

TABELAS (Capítulo 7):

I - Distribuição Normal; II - Distribuição Binomial

 

Exercícios Propostos: Capítulo 7 (Arquivo ".PDF")

 

Resolução dos Exercícios do Capítulo 7:

Exercício Resolvido (5)   YouTube

 

 

 

 

 

 

 

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