ESTATÍSTICA

Disciplina: Estatística e Probabilidade

Curso Completo (Apostila)

Professor: Altamir A. R. Araldi

Ano: 2004 e 2005, Local: CAV-UDESC, Cidade: Lages-SC

  

PROCESSOS DE AMOSTRAGEM

TAMANHO DA AMOSTRA

 

 

 

I - TAMANHO DA AMOSTRA

  

1 - Introdução:

O Cálculo do Tamanho da Amostra é um problema complexo e, ficaremos restritos ao caso da Amostra Aleatória Simples.¹ Também não abordaremos aspectos financeiros, mesmo sabendo que muitas vezes o Tamanho da Amostra fica restrito aos recursos disponíveis.

 

Outro ponto importante na determinação do Tamanho da Amostra é a Heterogeneidade da População em estudo e os tipos de Parâmetros que se deseja Estimar (Proporção, Média, etc.). Estes ingredientes entrarão em fórmulas mais refinadas, que apresentaremos num Capítulo que tratará de Estimação de Parâmetros. Então, trataremos de uma formulação bastante genérica, usada em pesquisas em que se deseja estimar diversos parâmetros, especialmente Proporções (ou Percentagens) de ocorrência de determinados atributos.²

 

 

2 - Alguns Conceitos:

Parâmetro, Estatística, Estimativa e Erro Amostral:

O termo Parâmetro é usado para designar alguma Característica Descritiva dos elementos da População. De forma análoga, chamaremos de Estatítica a alguma característica Descritiva dos elementos da Amostra.³ Por exemplo, na população dos funcionários de uma empresa, a percentagem de funcionários favoráveis a um programa de treinamento. Numa amostra a ser retirada, de 200 destes funcionários, a percentagem de favoráveis ao programa de treinamento, nesta amostra, é uma Estatística.

 

Ao observarmos efetivamente uma amostra de 200 funcionários, se encontrarmos 60% de favoráveis, este valor é chamado de Estimativa do referido Parâmetro. Então, uma Estimativa é o valor acusado por certa Estatística, considerando a particular Amostra observada.

 

Chamamos de Erro Amostral à diferença entre o valor que a Estatística pode acusar e o verdadeiro valor do Parâmetro que se deseja Estimar.

Para determinação do Tamanho da Amostra, o pesquisador precisa especificar o Erro Amostral Tolerável, ou seja, o quanto ele admite errar na avaliação dos Parâmetros de interesse. Por exemplo, na divulgação de pesquisas eleitorais, é comum encontrarmos no relatório, algo como: a presente pesquisa tolera um Erro de 2%. Isto quer dizer que quando a pesquisa aponta determinado candidato com 20% de preferência do eleitorado, está afirmando, na verdade, que a preferência por esse candidato é um valor do intervalo de 18% a 22% (ou seja, 20% ± 2%) – admite-se uma Tolerância de 18% para menos e 22% para mais.

 

A especificação do Erro Amostral Tolerável deve ser feita sob um enfoque Probabilístico, pois, maior que seja o Tamanho da Amostra, existe sempre o RISCO do sorteio gerar uma amostra com características bem diferentes da População de onde ela sendo extraída. Contudo, esse enfoque Probabilístico será somente quando tratarmos, posteriormente, do Tópico “Estimação de Parâmetros”. Por hora, deixaremos num sentido coloquial certas expressões, tais como: provavelmente, eventualmente, com alto nível de confiança, e etc.³¹

 

 

 

3 - Uma Fórmula para o Cálculo do Tamanho Mínimo da Amostra:

Sejam:

         N  =Tamanho (número de elementos da) da População;

         n  =Tamanho (número de elementos da) da Amostra

         no =uma primeira aproximação para o tamanho da amostra e

         Eo =Erro Amostral Tolerável.

Um primeiro cálculo do Tamanho da Amostra pode ser feito, mesmo sem o conhecer o Tamanho da População, através da seguinte expressão:

Conhecendo o Tamanho N da População, podemos corrigir o cálculo anterior, por:

Exemplo 1:

Planeja-se um levantamento por amostragem para avaliar diversas características da População das N=200 famílias moradoras de certo bairro. Estas características (Parâmetros) são especialmente do tipo Percentagens, tais como, percentagens de famílias que usam programas de alimentação popular, a percentagem de famílias que moram em casas próprias, etc. Qual deve ser o Tamanho Mínimo de uma Amostra Aleatória Simples, tal que possamos admitir, com alta confiança, que os Erros Amostrais não ultrapassam 4% (E0=0,04)?

 

Solução - Uma primeira aproximação: 

famílias.

Corrigindo, em função do Tamanho N da População, temos:

famílias.

Exemplo 2:

Considerando os objetivos e os valores fixados no exemplo anterior, qual deveria ser o Tamanho da Amostra se a pesquisa fosse estendida para toda cidade, que contém N=200.000 famílias residentes?

 

Solução: O valor de N0 continua o mesmo do caso anterior (N0 =625), pois N0 independe de N. Fazendo a correção em termos do novo valor de N, temos:

famílias.

No último exemplo, vimos que a correção com o Tamanho N da População, praticamente não alterou o cálculo inicial do Tamanho da Amostra (N0=625 e N0=623). Em geral, se a População for significativamente grande (digamos, dezenas de milhares de elementos), o cálculo do Tamanho da Amostra pode ser feito diretamente pela primeira expressão:                    , sem levar em conta explicitamente o Tamanho exato, N, da População.

 

Podemos observar, também, que para se manter o mesmo Erro Amostral, no Exemplo 1 foi necessária uma Amostra abrangendo 76% da População (152 elementos extraídos de 200); enquanto que no Exemplo 2, foi suficiente uma Amostra de apenas 0,3% da População (623 de 200.000). É, portanto, errônea a idéia de que para uma Amostra ser REPRESENTATIVA ela deva abranger uma percentagem fixa da População, isto é, já sabíamos que n não é uma Função Linear de N, mas sim uma função cujo gráfico é mostrado abaixo.

Figura 1: Relação entre Tamanho da População e Tamanho da Amostra

O gráfico é Assintótico à Reta (Função) y=N0, para cada N0 qualquer mas fixo que no caso é 625. 

Para tanto, precisaremos dos conhecimentos de Cálculo Diferencial e Integral!

 

4 - Tamanho da Amostra em Subgrupos da População:

É muito comum termos interesse em estudar separadamente certos Subgrupos da População. Por exemplo, numa pesquisa eleitoral, podemos ter interesse em saber as preferências das mulheres e dos homens. Numa pesquisa sobre condições sócio-econômicas das famílias de uma cidade, podemos ter como segundo objetivo, um estudo isolado de determinados bairros da cidade, e assim por diante.

 

Quando queremos efetuar Estimativas sobre partes da População, precisamos calcular o Tamanho da Amostra para cada uma destas partes. O Tamanho Total da Amostra vai corresponder à soma dos Tamanhos das Amostras de cada parte.

 

Podemos notar, pelo exposto acima, que o Tamanho Total da Amostra deve crescer bastante quando se desejam Estimativas isoladas para diversos Subgrupos da População. Neste sentido, é comum o pesquisador não ser muito exigente na precisão das Estimativas nos Subgrupos, Tolerando Erros Amostrais maiores.

 

 

 

Exemplo 3:

Considerando o Exemplo 2, suponha que se deseje fazer Estimativas isoladas para os estratos: (1) Centro da Cidade, (2) Bairros e (3) Periferia. Mantendo-se a mesma precisão para cada estrato (E0=0,04). Neste caso, seriam necessárias 625 famílias para cada estrato e, portanto, a Amostra Total, deve conter NTotal=3.(625)=1.875 famílias.

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¹   Para outros tipos de Amostras Aleatórias, o leitor pode consultar livros próprios de Amostragens.

 

²  Como a abordagem que estamos apresentando é bastante genérica, ela pode fornecer um Tamanho de Amostra bastante superior ao que seria necessária para uma dada situação específica.

 

³   A Estatística, quando usada para avaliar (ou Estimar) o valor de um Parâmetro, também é chamada de Estimador.

 

³¹ Para o leitor que já tenha algum conhecimento de Estatística, observamos que a formulação ora apresentada baseia-se na Estimação de uma Proporção, no caso de maior heterogeneidade, sob o Nível de Confiança de 95%. 

Em Breve estaremos apresentando uma Página especialmente para falar sobre:

a) Significado do Ponto Médio de Classe;

b) Quais as vantagens e desvantagens ao se escolher um número de

     classes k muito grande ou muito pequeno;

c) Quando é preferível trabalhar com classes de amplitude desiguais; e etc.

Formato ".PDF"

Capítulo 1 - SÉRIES ESTATÍSTICAS E NÃO ESTATÍSTICAS - GRÁFICOS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: TIPOS OU CLASSIFICAÇÃO

Capítulo 2 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS OU TABELA DE FREQUÊNCIAS

Capítulo 3 - Medidas de Tendência Central, Separatrizes

Capítulo 4 - MEDIDAS DE DISPERSÃO (OU VARIAVILIDADE)

Capítulo 5 - ASSIMETRIA e CURTOSE

Capítulo 6 - TEORIA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE

Capítulo 7 - DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE PROBABILIDADE

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Exercícios Propostos: Capítulos 3 e 4 (Arquivo ".PDF")

 

Resolução dos Exercícios: Exercício 01 / Exercício 02 / Exercício 03 / Exercício 04 /

                                      Exercício 05 / Exercício 06Exercício 07 / Exercício 08 /

                                      Exercício 09 / Exercício 10 / Exercício 11 / Exercício 12 /

                                       Exercício 13 (Já resolvido: Veja as Vídeo Aulas abaixo) /

                                                

                                                   

 

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TABELAS (Capítulo 7):

 

 

I - Distribuição Normal; II - Distribuição Binomial

 

 

 

Exercícios Propostos: Capítulo 7 (Arquivo ".PDF")

 

 

 

 

Resolução dos Exercícios do Capítulo 7:

Exercício Resolvido (5)   YouTube

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Processos de Amostragem:

I - Tamanho da Amostra

Ítem (a);    (b);    (c);    (d)  YouTube

Tópicos em Estatísticas: Arquivo Formato ".PDF"

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