ESTATÍSTICA

Disciplina: Estatística e Probabilidade

Curso Completo (Apostila)

Professor: Altamir A. R. Araldi

Ano: 2004 e 2005, Local: CAV-UDESC, Cidade: Lages-SC

  

CAPÍTULO 4 - MEDIDAS DE DISPERSÃO (OU VARIABILIDADE)

 

 

 

 

 

 

I - MEDIDAS DISPERSÃO (OU VARIABILIDADE)

  

4.1 - INTRODUÇÃO

            Depois das Medidas de Tendência Central, de uma Série de Valores ou de uma Distribuição de Freqüência, ocupamo-nos a seguir do Grau de Dispersão ou Variação, ignorando por enquanto a sua forma. Assim, duas Séries ou Distribuições de Valores, embora com a mesma Média, por exemplo, podem ter uma Flutuação muito diversa desses valores em torno da Medida de Tendência Central. A característica desse fato é dada pelas Medidas de Dispersão ou Variabilidade.

 

4.2 - CLASSIFICAÇÃO DAS MEDIDAS DE DISPERSÃO

4.2.1 – ABSOLUTAS: DESVIO QUARTÍLICO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO.

4.2.2 – RELATIVAS: COEFICIENTE DE VARIAÇÃO.

 

4.3 – DESVIO QUARTÍLICO (DQ)

            Ou Amplitude Semi-Interquartílica, de uma Série Simples ou de uma Distribuição de Freqüência, é definida por:

                                DQ=(Q3 – Q1)/2                                                                                  (1)

Em que Q3 é o Quartil Superior ou 3o Quartil e Q1 é o Quartil Inferior ou 1o Quartil.

            O Desvio Quartílico mede a Concentração das Observações em torno da Mediana. Assim, comparando uma Série de Valores ou Distribuição de Freqüência, quanto maior o “DQ”, tanto maior a Dispersão.

 

Exemplo:

  • Qual o Desvio Quartílico da Série x={4, 5, 7, 9, 10}?

  • Dada a Série y={4, 6, 7, 9, 12}. Compare com a Série anterior. Qual delas tem maior Grau de Dispersão?

Resposta: DQX=2,5;

               DQY=2,75.

Interpretação: DQY > DQX.

 

4.4 – VARIÂNCIA (S²)

4.4.1 – DEFINIÇÃO

            É a Razão entre a Soma dos Quadrados dos Desvios e o Número de Observações.

 

4.4.2 – NOMENCLATURA

4.4.3 – FÓRMULAS DE CÁLCULO

    a) Série Simples:

                                   

                                                     (para uma Amostra);                                                    (2a)

 

                                   

                                                     (para uma População).                                                 (2b)

 

   b) Distribuição de Freqüência:

                                   

                                                     (para uma Amostra);                                                   (3a)

 

                                   

                                                     (para uma População).                                                (3b)

 

Em que             . 

 

OBSERVAÇÃO: Para n suficientemente grande, tanto faz usar n ou n-1 no denominador. Veremos o porquê de se usar n para a Amostra e n-1 para a População quando tratarmos do Tópico "Estimadores de Parâmetros".

Desenvolvendo o Binômio               , obtêm-se as seguintes Expressões abaixo:

 

  a) Série Simples

 

                                                          para uma Amostra);                                               (4a)

 

  b) Distribuição de Freqüência

 

                                                           

                                                          para uma População);                                             (4b)

4.5 – DESVIO-PADRÃO (s)

4.5.1 – Definição

É a raiz quadrada da Variância, isto é, a Média Quadrática dos Desvios em relação à Média de uma Série ou Distribuição em estudo. Ou seja: 

 

4.5.2 – FÓRMULAS DE CÁLCULO

a) Série simples

     

                                                           

                                                            (para uma Amostra)                                              (5a)

     

 

                                                            (para uma População)                                           (5b)

 

 

b) Distribuição de Frequência

    

                                                 

                                                            (para uma Amostra)                                              (6a)

 

                                             

                                                            (para uma População)                                           (6b)

 

Desenvolvendo o binômio              , obtêm-se as mesmas expressões (para a Amostra) (4a) e (4b) somente que sob a raiz quadrada.

 

Observação: Para Dados Agrupados em Classes os Pontos Médios de classe, “Pi”, entram nas expressões para o cálculo da Média e, conseqüentemente, para o cálculo da Variância no lugar dos “xi”.

 

4.5.3 – Vantagem

      a) O desvio-padrão pode receber melhor tratamento algébrico que as outras medidas de dispersão, por isso é considerada a mais             representativa delas.

      b) O Desvio padrão está na mesma unidade da variável estudada, seja numa série simples ou em distribuição de freqüência.

 

4.5.4 - Interpretação do Desvio Padrão:

Vejamos o Exercício 1 mostrado acima. O valor da Variância da Série Simples dada é 5,2. Assim, O valor do Desvio padrão no caso considerado uma População é a Raiz Quadrada deste valor ou seja                                . Isto é, estando o Desvio Padrão na mesma UNIDADE da Variável X e, por conseguinte, da Média, podemos dizer que os dados valores de x1=4, x2=5, x3=7, x4=9  e x5=10 estão EM MÉDIA (NA EXPRESSÃO DO CÁLCULO DA VARIÂNCIA ESTÁ IMPLÍCITO UM VALOR MÉDIO JÁ QUE É UM SOMATÓRIO DE n valores DIVIDIDO POR n) DISTANTES 2,28 UNIDADES DA MÉDIA    =7.

 

Já no Exercício 2 acima temos:                              . E a interpretação deste valor é análoga a do Exercício 1. Isto é, EM MÉDIA OS VALORES "xi" ESTÃO AFASTADOS DO VALOR DA MÉDIA 1,921 UNIDADES.

 

 

 

4.6 - Medidas de Variação ou Dispersão Relativa

 

4.6.1 – CONCEITO DE VARIAÇÃO RELATIVA (VR)

Variação Absoluta: DQ (Desvio Quartílico) e S (Desvio Padrão)

Medida de Tendência Central:     e Md

 

OBSERVAÇÃO: O valor da Variação Relativa é um valor entre 0 e 1, ou seja, 0 ≤ VR ≤ 1. 

 

NOTA: Quando numa Distribuição de Freqüência, for impossível determinar o valor da Média (classes extremas abertas) e consequentemente o Desvio Padrão, utiliza-se para determinar a Variação Relativa os valores do “DQ” e da “Md”, que são determináveis.

 

4.6.2 – COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON (CV):

4.6.2.1 – VANTAGEM

O Coeficiente de Variação de Pearson independe das unidades utilizadas.

 

4.6.2.2 – DESVANTAGENS

a) O Coeficiente de Variação de Pearson deixa de ser útil quando  está     próximo de ZERO, ou seja se     0  .

 

b) Não pode ser calculado quando a Distribuição de Frequências ou Séries Simples apresenta intervalos de classe extremos abertos.

 

No Exercício 1 acima temos:                               .  

 

No Exercício 2 acima temos:                                .

 

Isto significa que existe maior variabilidade nos Dados no Exercício 1 do que nos Dados do Exercício 2, independentemente do tamanho da População (no caso ).

 

OBSERVAÇÃO: Em outras palavras, o Coeficiente de Variação serve para compararmos duas Séries ou Distribuições de Frequências com respeito a VARIABILIDADE DOS DADOS, independentemente das Unidades envolvidas.

4.6.3 – COEFICIENTE DE VARIAÇÃODO DESVIO QUARTÍLICO (VRDQ)

 

Por Definição,                  .

 

OBSERVAÇÃO: É utilizado sempre que a Média e, conseqüentemente o Desvio Padrão não podem ser calculados.

 

4.7 - AVALIAÇÃO DAS DISPERSÕES OU VARIAÇÕES RELATIVAS


Na avaliação ou interpretação do fenômeno, podemos concluir se o mesmo é MUITO, MUITÍSSIMO, POUCO ou POUQUÍSSIMO Disperso. OBSERVAÇÃO:  Esta Classificação é algo que temos considerar ser SUBJETIVA - outros podem fazer suas próprias classificações dentro, é claro, da Coerência necessária.

 

Esses Índices podem ser aplicados às Medidas de Dispersão Relativas como dado na Tabela abaixo:

Em Breve estaremos apresentando uma Página especialmente para falar sobre:

a) Significado do Ponto Médio de Classe;

b) Quais as vantagens e desvantagens ao se escolher um número de

     classes k muito grande ou muito pequeno;

c) Quando é preferível trabalhar com classes de amplitude desiguais; e etc.

Formato ".PDF"

Ítem (a);    (b);    (c);    (d)  YouTube

Capítulo 1 - SÉRIES ESTATÍSTICAS E NÃO ESTATÍSTICAS - GRÁFICOS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: TIPOS OU CLASSIFICAÇÃO

Capítulo 2 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS OU TABELA DE FREQUÊNCIAS

Capítulo 3 - Medidas de Tendência Central, Separatrizes

Capítulo 4 - MEDIDAS DE DISPERSÃO (OU VARIAVILIDADE)

Capítulo 5 - ASSIMETRIA e CURTOSE

Capítulo 6 - TEORIA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE

Capítulo 7 - DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE PROBABILIDADE

___________________

Exercícios Propostos: Capítulos 3 e 4 (Arquivo ".PDF")

 

Resolução dos Exercícios: Exercício 01 / Exercício 02 / Exercício 03 / Exercício 04 /

                                          Exercício 05 / Exercício 06 / Exercício 07Exercício 08 /

                                          Exercício 09 / Exercício 10 / Exercício 11 / Exercício 12 /

                                           Exercício 13 (Já resolvido: Veja as Vídeo Aulas abaixo) /

 

 

 

 

 

______________________

TABELAS (Capítulo 7):

I - Distribuição Normal; II - Distribuição Binomial

 

Exercícios Propostos: Capítulo 7 (Arquivo ".PDF")

 

Resolução dos Exercícios do Capítulo 7:

Exercício Resolvido (5)   YouTube

 

 

 

 

 

 

 

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Processos de Amostragem:

I - Tamanho da Amostra

Tópicos em Estatísticas: Arquivo Formato ".PDF"

  A partir de 22 Set de 2018

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