MATEMÁTICA

Disciplina: Desenho Geométrico

Construção e Divisão de Ângulos

Divisão de um Ângulo em Três Partes Iguais com Régua e Compasso

Introdução:

É importante termos em mente que Desenho Geométrico é uma Disciplina da Matemática que tem por objetivo resolver Problemas Geométricos se utilizando apenas de dois instrumentos quais sejam a Régua (não Graduada) e o Compasso. Problemas são solucionados desta forma e umas soluções são Exatas e outras Aproximadas.

 

Queremos aqui não somente mostras a solução destes problemas, mas também, talvez nosso maior enfoque é mostrar a relação que existe entre soluções destes Problemas do Desenho Geométrico com outra Área da Matemática Pura a Álgebra (Estruturas Algébrica). Mais precisamente, iremos mostrar esta relação da Geometria com: Raízes de Polinômios; os Números Algébricos e os Transcendentes. Esta relação, então com a Teoria dos Corpos e/ou Teoria de Galois.

 

Cabe aqui  Definição de Números Construtíveis: Um número real positivo a é chamado de construtível se conseguirmos usando apenas um compasso e uma régua não graduada construir com um número finito de passos um segmento de reta cujo comprimento seja a, a partir de um segmento cujo comprimento como unidade. Números construtíveis utilizando apenas Régua (não graduada) e Compasso nada mais são do que números que podem ser obtidos com as quatro operações fundamentais e extração da raíz quadrada: a+b; b-a; a.ba/b, b ≠ 0; e b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Para exemplificar, abaixo é construída uma Sequência de Números Construtíveis, ou seja as Raízes Quadradas de Números Inteiros 2, 3, 4, 5, ... Por exemplo, (2)²=1² + 1²; (√3)²=(√2)² + 1²; e assim sucessivamente. E lembrando, √2 é Raiz da Equação Polinomial com Coeficientes Inteiros x² - 2=0 o que significa que  √2 é um Número Algébrico.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sabemos que a trissecção do ângulo, com algumas exceções o ângulo de 90° (π/2), 90° (π) e outros, é um dos Três Problemas Clássicos da Geometria (Grega, na sua devida época) onde não é possível sua construção utilizando apenas Régua não-graduada e Compasso.

 

Os Três Problemas Clássicos da Geometria Grega são: a Trissecção do Ângulo, (a qual será vista aqui) a Quadratura do Círculo e a Duplicação do Cubo - estes dois últimos serão vistos separadamente.

 

Veremos à luz da Teoria dos Corpos e/ou de Galois que é impossível a solução exata da Trisseção, por exemplo, do ângulo de 60° (= π/6), embora saibamos que a trisseção de outros ângulos como de o 90° (π/2) é exata - isto vale, também para os dois últimos Problemas Clássicos mencionados acima onde a solução exata é impossível com a construção, frisando, usando somente régua e Compasso. No entanto, podemos determinar aproximações razoáveis que dependendo da onde se quer aplicar, o erro seja tolerável. A aproximação da Trissecção do Ângulo é relativamente simples e requer poucos passos para sua construção.

 

Passo 1: Construa uma circunferência de centro O:

Teorema de Tales para a Solução de x=a.b, x=?:

As retas r e t são paralelas e cortadas por duas outras retas transversais (1+a) e (b+x). Vemos aí as semelhanças de triângulos com mesmo vértices no ponto "o".

 

De modo equivalente é resolvido a problema x=a/b, x=? Neste caso as PROPORÇÕES são: x/1=a/b ou equivalente: 1/x=b/a. Solução abaixo!

A solução do problema x= √b é equivalente a determinação da Média Geométrica entre os segmentos "1" e "b". A justificativa para esta Solução Exata é que, por construção, o ângulo MPN=90° já que este ângulo inscrito na circunferência é a metade do ângulo central MON que mede 180°. E assim, sabe-se (pode ser demontrado) que pelo triângulo ΔMNP a altura x obedece x²=1.b.

Passo 2: Em seguida, trace uma reta que passe pelo centro "O" e uma segunda reta que também passe pelo centro "O", marcando os pontos "A" e "B" com a intersecção com a circunferência. Desta forma, definimos o ângulo AOB, que queremos trissectar:

Passo 3: Trace a Bissetriz do Ângulo AOB marcando como "E" a intersecção com a circunferência:

Passo 4: Com raio OE e centro em "E", descreva um arco interceptando o prolongamento da bissetriz OE em "F":

Passo 5: Agora, trace as retas FC e FD e marque as intersecções com a circunferência como "G" e "H":

Passo 6: Os pontos "G" e "H" dividem o arco AB em três partes aproximadamente iguais. Trace as retas OG e OH, definindo os ângulos:

Passo 7: Encontraremos, então, o ângulo AOB dividido em três partes “iguais”: AOH,HOG e GOB, com boa aproximação:

Passo 8: Mas é somente uma aproximação. Se tomarmos o ângulo AOB =60°, então cada ângulo formado seria de 20°. Com o auxílio de um software gráfico, construímos um ângulo de 60° trissectado "corretamente" (não é precisão absoluta - apenas uma ilusão de precisão por conta dos pontos (flutuantes) plotados com um número significativo de casas decimais -, pois é provado Algebricamente que o ângulo de 20° não é Construtível):

As retas na cor preta são as mesmas retas construídas por aproximação. As retas em vermelho são as retas que dividem o ângulo "corretamente" em 20°. Ampliando o ponto "H", podemos ver que "realmente" há a diferença:

O valor do ângulo construído mede aproximadamente 19,795°. Não é exato, mas "fica bem próximo". Desta forma, o "ângulo central HOG é ligeiramente maior que os outros dois".

  A partir de 14 Set de 2020

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