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Disciplina: Cálculo Numérico

COMPUTAÇÃO

Vídeo Aulas

ensinoeinformacao - Cálculo Numérico - Zeros de Funções - Método da Bisseção

 

Publicado em 26 de Set de 2016

Nesta Vídeo Aula, dentro da Disciplina Cálculo Numérico, é apresentado o Método da Bisseção para a Determinação de ZEROS de uma Função. Escolhemos como exemplo a função Polinomial bem simples f(x) = x² - 4. Sabemos que os dois zeros de f são 2 e -2 quando calculado analiticamente.

 

Numericamente, este método da bisseção exige que a função seja Contínua no num Intervalo [a,b] e que f(a).f(b) < 0 (ou, equivalente, que f(a) < d <f(b)) o que o Teorema do Valor Intermediário garante a Existência de um número c pertencente ao Intervalo Aberto (a,b), tal que f(c) = d. Tomando-se d = 0, este Teorema garante a existência deste número c tal que f(c) = d = 0. O Algoritmo converge para o Zero de f num número finito de Iterações – desde que escolhamos o Intervalo [a,b] de modo que neste intervalo a função seja Estritamente Crescente (ou Decrescente). Lembremos que tanto o ZERO de f é APROXIMADO (ponto onde a função se anula. Equivalentemente, é o ponto onde o Gráfico da função intercepta o Eixo X e que o valor de f neste zero é próximo de 0 tanto quanto se queira através de Critérios de Parada do Algoritmo que busca a solução do problema. Importante também, é não sair de imediato a procura de zeros sem ter pelo menos um indicativo de que existe um zero da função. Se tivermos um polinômio de Grau ímpar tão, existe pelo menos uma Raiz (ZERO) Real (pertencente ao Conjunto dos Números Reais) deste polinômio, já que as Raízes Complexas vêm aos pares!

 

O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

 

Numa próxima Vídeo Aula, apresentaremos o Algoritmo propriamente dito em um Linguagem de programação, ou Pascal ou Delphi para ser Implementado em Computador!

 

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ensinoeinformacao - Cálculo Numérico - Zeros de Funções - Método de Newton-Raphson - Fundamentos

 

Publicado em 28 de Set de 2016

Nesta Vídeo Aula são apresentados os FUNDAMENTOS do Método de Newton Raphson para Determinação de ZEROS de uma Função Diferenciável em um Conjunto Aberto U⊆ℝ supostamente contendo um Zero da Função f: U⊆ℝ → ℝ. Neste U (um Intervalo aberto) o Algoritmo se inicia com a apresentação de um Valor Inicial x1 para o qual f(x1) é próximo do valor ZERO. A cada Iteração do Método valores x2, x3, .... são obtidos através de uma Fórmula (Expressão) envolvendo a Função f(k) e sua derivada f'(xk) e o valor de xk, onde k é o Número de Iteração. Esta Expressão é obtida pelo TRUNCAMENTO da Série de Taylor para f(x). São mencionadas Regras (Critérios) de Parada para o Algoritmo em questão. A Expressão para obter os zeros aproximados é dada por: xk+1 = xk - f(xk)/f'(xk), k = 1, 2, 3, .... Este Método é Convergente para o Zero de f, uma vez que a Função f é Crescente (ou Decrescente) em U.

Na próxima Vídeos Aula estaremos dando um Exemplo Numérico da Aplicação deste Método e com o Algoritmo propriamente dito para Implementar em Computador em uma Linguagem Pascal ou Delphi!

 

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ensinoeinformacao - Cálculo Numérico - Zeros de Funções - Método de Newton-Raphson - Exercício

 

Publicado em 03 de Out de 2016

Neste Vídeo Aula estaremos mostrando na prática através de um Exemplo onde buscaremos o(s) ZERO (S) da Função f(x) = x - Senx.

 

Mostraremos que em alguns casos se pode-se encontrar sem tanta dificuldade um ponto x1 (Ponto de Partida) para iniciar o Processo Iterativo no Algoritmo do Método Newton-Raphson.

 

Mostramos novamente a questão de se estabelecer um Critério de  Parada que seja o mais Adequado à Situação em si. 

 

Salientamos que a função f(x) deve ser necessariamente Diferenciável e Estritamente crescente nas proximidades de um possível ZERO EXATO.

 

A função que escolhemos foi uma Função envolvendo uma Função Trigonométrica e assim um Função Transcendente.

 

Uma função transcendente (em inglês: transcendental) é uma função a qual não satisfaz uma equação polinomial cujos coeficientes são eles próprios polinomiais. Uma função de uma variável é transcendente se ela é algebricamente independente desta variável.

 

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ensinoeinformacao - Integração Aproximada - Regra do Trapézio (Fundamentos do Método)

 

Publicado em 11 de Mar de 2017

O Objetivo desta Vídeo Aula é o de apresentar os Fundamentos do Método "Regra do Trapézio" para o Cálculo Aproximado da Integral  de uma Função f: [a,b] → R, isto é, uma função definida num  Intervalo [a,b] da Reta.

 

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ensinoeinformacao - Integração Aproximada - Regra do Trapézio (Fundamentos do Método)

 

Publicado em 14 de Mar de 2017

Esta Vídeo Aula tem por objetivo a resolução de um EXERCÍCIO para o Cálculo Aproximado da Integral da função f(x)=1/x no intervalo compreendido entre a= 3,0 e b=3,6. Usando o Método da Regra do Trapézio e, depois Calculando Analiticamente (valor EXATO) onde é usada a Primitiva de f(x) sendo a função F(x)=lnx de maneira que o valor exato da Integral de f entre a e b é obtido pela diferença F(3,6)-F(3,0), isto é ln3,6-ln3,0. Os valores Aproximado e EXATO são comparados.

 

Posteriormente, é calculado um ERRO = E cuja expressão é previamente conhecida e envolve a Derivada Segunda da função f(x), isto é f''(x). Este ERRO vem a melhorar a Aproximação do Método da Regra do Trapézio.

 

Em termos do Sinal da Derivada Segunda de f(x) é mostrado quando o Valor Aproximado é MENOR ou quando é MAIOR do que o Valor EXATO em termos da Concavidade do Gráfico de f(x).

Na próxima Vídeo Aula estaremos Resolvendo o mesmo EXERCÍCIO com a mesma função f(x)=1/x considerando SEIS subintervalos em que se tem a=x1=3,0; x2=3,1; x3=3,2; x4=3,3; x5=3,4; x5=3,5; e x6=3,6=b.

 

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ensinoeinformacao - Cálculo Numérico | Sistemas na Base 10 e Base 2 - Aula 01

 

Publicado em 23 de Set de 2018

(Aula 01) - Relembramos inicialmente como funciona nosso Sistema Decimal como suas Potências de 10: 0, 1, 2, 3, .... Depois mostramos o sistema Binário. Mostramos a representação de uma Número na Base 2 através de suas suas Potências 0, 1,  2,  3, 4, .... Conversão de Base 10 para Base 2 e vice-versa. Nesta Aula Introdutória, nós decidimos trabalhar aqui somente com Número Inteiro Positivo!

 

Numa outra Vídeo Aula estaremos trabalhando com Números Decimais (Número Real... com vírgula e negativos). Em outra Aula, estaremos falando das Operações com Números Binário: Adição, Multiplicação!

 

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