Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral

MATEMÁTICA PURA

Aplicações da Derivada - Exemplo 2

Emprego da Derivada e/ou Taxa de Variação:

 

Problema proposto: Para fabricar uma caixa sem tampa utiliza-se um pedaço de cartolina quadrado de lado 12cm. Em cada canto da cartolina deve-se recortar um quadrado de lado “x”. Determinar o valor de “x” de modo que o volume da caixa seja máximo. Qual é o volume máximo?

Solução: A caixa terá a forma de um paralelepípedo de base “S” e altura “x”. Seu volume será, então, S.x. Calculemos S: S = (12 - 2x)² = 4x² - 48x + 144. Assim, o volume “V” da caixa é obtido por V = (4x² - 48x + 144)x = 4x³ - 48x² +144x. Consideremos agora a Função V(x) definida por V(x) = 4x³ - 48x² + 144x para valores de x no intervalo (0,6) - isto é, para valores de x= 2 e x=6 não temos caixa alguma. Procuremos os Pontos Críticos de V(x) no Intervalo (0,6): V’(x) = 12x² - 96x + 144 e V’(x) = 0 implica que x = 2 ou x = 6. Mas x = 6 não satisfaz o problema, já mencionado acima.

 

A Derivada Segunda V’’(x) = 24x – 96 e V’’(2) = - 48 < 0 e, assim, x = 2 é um ponto de Máximo Local - A função Polinomial V(x) = 4x³ - 48x² +144x é Ilimitada Inferiormente e Superiormente (Veja o Gráfico no Vídeo!). Como V(x) é uma Função Polinomial que é Contínua e Restrita ao Intervalo (0,6 ) mesmo que Aberto mas Limitado, então era garantido a existência do Máximo e do Mínimo nesse Intervalo – para outras funções definidas num intervalo Aberto não é garantido a existência de Máximo e/ou de Mínimo: tome F(x) = 1/x NÂO possui Máximo e nem Mínimo no Intervalo (0, ∞) e NÃO possui Mínimo e nem Máximo no Intervalo (-∞,0).

 

O Valor Máximo do Volume da Caixa V(x) é obtido no Ponto x =2 e este Valor Máximo é V(2) = 128 cm³.

V(x) uma Função Polinomial V:R →R que possui Derivada em todo o ponto x ∈ R. Assim (Teorema), V(x) é uma Função Contínua em todo seu Domínio os Reais R. Em particular, sendo V(x) Contínua no Intervalo Fechado e Limitado [0,6] (Conjunto Compacto que em R, R², R³, ... que equivale dizer ser um Conjunto Fechado e Limitado) nos garante (Teorema) que V(x) possui eou ou atinge seu Máximo (Local) e seu Mínimo (Local) neste intervalo. Somente para esta função podemos ver que mesmo o Intervalo (0,6) sendo Aberto ainda assim por ser uma Função Polinomial, vemos pelo seu Gráfico que temos DOIS Pontos Críticos: um Ponto Crítico em x=2 e outro em x=6. O ponto x=6 não satisfaz nossa Restrição (Vemos que estamos resolvendo um Problema de Otimização - Maximização, no caso, Restrita ao intervavo em questão) x ∈ (0,6). Assim, resulta que somente o Ponto Crítico x=2 é solução do mesmo, ou seja x = 2 é o ponto de Máximo (Local) de V(x) e o Máxino de V(x) neste Ponto é V(2) = 128cm³ o Volume Máximo da caixa.

Vejamos como Resolver o Problema sem que tivéssemos o Gráfico de V(x). Primeiro procuraríamos os Pontos Críticos de V(x), isto é os pontos onde a Derivada V'(x) se anula, ou seja, onde V'(x)=0, ou seja, onde V'(x) = 12x² - 96x +144 = 0. resulta que x = 2 ou x= 6 são as DUAS Raízes deste Polinômio do 2o. Grau. Apenas x = 2 Satisfaz a Contição ou (Restrição) x ∈ (0,6). Logo o único Ponto Crítico é x = 2 (aí em x=2 o Coeficiente Angular da Reta Tangente à Curva (Gráfico) de V(x) no ponto x=2 é igual a ZERO, isto é equivalente a dizer que V'(2)=0, ou que a Reta Tangente à Curva é Paralela ao Eixo X). Calculemos a Derivada Segunda V''(x) vem que: V''(x) = 24x - 96. Como V''(2) = -48 < 0, resulta que x=2 é Ponto de Máximo (Local) e assim, V(2)=128cm³ é o Volume Máximo da caixa que se procura e o problema de Otimização (Restrita, no caso) está resolvido.

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Publicado em 22 de abr de 2016

Para fabricar uma caixa sem tampa utiliza-se um pedaço de cartolina quadrado de lado 12cm. Em cada canto da cartolina deve-se recortar um quadrado de lado “x”. Determinar o valor de “x” de modo que o volume da caixa seja máximo. Qual é o volume máximo?

 

Solução: A caixa terá a forma de um paralelepípedo de base “S” e altura “x”. Seu volume será, então, S.x. Calculemos S: S = (12 - 2x)² = 4x² - 48x + 144. Assim, o volume “V” da caixa é obtido por V = (4x² - 48x + 144)x = 4x³ - 48x² +144x. Consideremos agora a Função V(x) definida por V(x) = 4x³ - 48x² + 144x para valores de x no intervalo (0,6) - isto é, para valores de x= 2 e x=6 não temos caixa alguma. Procuremos os Pontos Críticos de V(x) no Intervalo (0,6): V’(x) = 12x² - 96x + 144 e V’(x) = 0 implica que x = 2 ou x = 6. Mas x = 6 não satisfaz o problema, já mencionado acima.

 

A Derivada Segunda V’’(x) = 24x – 96 e V’’(2) = - 48 < 0 e, assim, x = 2 é um ponto de Máximo Local - A função Polinomial V(x) = 4x³ - 48x² +144x é Ilimitada Inferiormente e Superiormente (Veja o Gráfico no Vídeo!). Como V(x) é uma Função Polinomial que é Contínua e Restrita ao Intervalo (0,6 ) mesmo que Aberto mas Limitado, então era garantido a existência do Máximo e do Mínimo nesse Intervalo – para outras funções definidas num intervalo Aberto não é garantido a existência de Máximo e/ou de Mínimo: tome F(x) = 1/x NÂO possui Máximo e nem Mínimo no Intervalo (0, ∞) e NÃO possui Mínimo e nem Máximo no Intervalo (-∞,0).

 

O Valor Máximo do Volume da Caixa V(x) é obtido no Ponto x =2 e este Valor Máximo é V(2) = 128 cm³.

 

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Leitura Complementar:

Aplicações da Derivada - 01 - Arquivo ".PDF"  -  412kb

Aplicações da Derivada - 02 - Arquivo ".PDF"  -  297kb

Aplicações da Derivada - 03 - Arquivo ".PDF"  -     1MB

Aplicações da Derivada - 04 - Arquivo ".PPT"  -     1MB

Aplicações da Derivada - 05 - Arquivo ".PDF"  -  457kb

Aplicações da Derivada - 06 - Arquivo ".PDF"  -  300kb

Aplicações da Derivada - 07 - Arquivo ".PDF"  -  227kb

 

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