MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Análise Matemática

Parte 01

(Funções de R em R)

Apresentaremos a seguir 3 (três) Funções Trigonométricas (Seno, Cosseno, Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante) de R em R envolvendo, no caso, apenas o "SENO" com seus respectivos gráficos. Estudaremos estas três funções segundo as propriedades de CONTINUÍDADE e DERIVABILIDADE. As funções são F(x)=Sen (1/x); G(x)=x.Sen(1/x); e H(x)=X².Sen(1/x).

 

Antes, porém, relembraremos a Função Q(x)=Sen x, bem como o efeito de multiplicar esta função por x e por x², isto é, as funções R(x)=x.Sen x e S(x)=X².Sen x.

 

 

podemos constatar que estamos tratando de duas Sequências de Funções distintas:

Gráfico da função Q(x)=Sen x.

Gráfico da função R(x)=x.Sen x.

Gráfico da função S(x)=x².Sen x.

Temos até aqui 3 (três) funções que fazem parte de uma Sequência de Funções. Estudaremos, também, a Convergência Pontual e veremos se esta Convergência pode ser uma Convergência Uniforme.

Gráfico da função S(x)= f0(x)=Sen (1/x).

Função f0:R→R definida por f0(x)=Sen (1/x) para x ≠ 0 é um exemplo de DESCONTINUIDADE DE SEGUNDA ESPÉCIE, isto é, seja qual for o valor atribuído a f(0) esta função nunca será CONTÍNUA, pois não existe                       e nem                       . Isto pode ser mostrado de outra forma por meio de Sequência, uma vez que existe um Teorema que diz que “se uma sequência de números reais {Yn} converge para o número real a, então toda subsequência de {Yn} também converge para a”. Para mostrar que não existe tal limite, consideremos a subsequência {Xk}={1/kπ}, k=1, 2, 3, ... e a sequência {X2k}={1/(π/2 + 2kπ)}, k=1, 2, 3,... Vemos que a sequência {1/kπ}→0 quando k→∞ e que {1/(π/2 + 2kπ)}→0 quando k→∞. Mas, as subsequências, no caso, para {Yn}, isto é, a subsequência {Sen (1/xk)}→0 enquanto que {Sen (1/x2k}→1. Lembrando, xk e x2k são, respectivamente, os k-ésimos termos (números reais) das sequências {Xk} e {X2k}.

 

OBSERVAÇÃO: Importante lembrar-se do Teorema que diz que “Existe o limite f(x)→a, quando x tende para o ponto P se, e somente se, para toda Sequência {Xn}→P, obrigatoriamente tem-se a sequência {f(Xn)}→a”.

  

Gráfico da função S(x)=f1(x)=x.Sen (1/x).

Convergência Simples e Convergência Uniforme

 

Seja X um conjunto de números reais. Uma sequencia de funções fn:X→R é uma correspondência que associa a cada número natural n ϵ N uma função fn, definida em X e tomando valores reais.

 

Diz-se que a sequência de funções fn:X →R converge simplesmente para a função f:X→R quando, para cada x ϵ X, a sequência de números reais (f1(x), f2(x), ..., fn(x),...) converge para o número real f(x). Ou seja, para todo x ϵ X fixado, tem-se:

 

Para exprimir esta situação, diz-se que “fn converge simplesmente para f em X”. Ou, mais resumidamente: fn→f simplesmente, em X.

A convergência simples às vezes também se chama convergência ponto a ponto ou convergência pontual.

 

___________

 

OBSERVAÇÃO: Uma Página será criada para falar especificamente e na ordem certa sobre:

 

1) SEQUÊNCIA E SÉRIES DE NÚMEROS

     REAIS;    Clique Aqui!

 

2) SEQUÊNCIA E SÉRIE DE FUNÇÕES

     fn:X → R. Clique Aqui!

Texto a ser Editado. Aguardem!

Gráfico da função S(x)=f2(x)=x².Sen (1/x).

Texto a ser Editado. Aguardem!

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