1a) Ementa

Conceitos Básicos e Exemplos de Espaços Vetoriais Normados, Espaços de Banach, Espaços de Hilbert.

Transformações Lineares Contínuas. Teoremas de Hahn Banach, da Aplicação Aberta, do

Gráfico Fechado, de Banach-Steinhaus. Dualidade e Reflexividade. Subespaços Complementares.

Teoremas da Representação de Riesz, da Projeção. Sistemas Ortonormais. Operadore Auto-Adjuntos.

 

1b) Ementa (Alternativa) 

Exemplos de Espaços Vetoriais de Dimensão Infinita / Equivalência entre Normas e Compacidade / Espaços de Hilbert: L1 e L2 / Projeção em um Convexo Fechado e Dualidade / Bases Ortonormais e Caracterização de Espaços de Hilbert / Séries de Fourier / Espaços Métricos Completos / Espaços de Banach: Teorema de Baire e Conseqüências / Dualidade: Teorema de Hahn-Banach / Topologia / Compacidade / Topologia Fraca / Caracterização de Espaços Reflexivos / Operadores Compactos e Teorema Espectral / Espaços de Sobolev sobre R / Formulação de Problemas de Valores de Contorno em Dimensão 1 / Formulação de Problemas de Valor Inicial em uma Dimensão Espacial.

 

 

2.Programa

2.1) Introdução / Espaços Vetoriais Normados / Espaçcos de Banach / Espaços de Hilbert: Conceito Básicos e Exemplos.

 

2.2) Operadores Lineares / Operadores Lineares Limitados e Exemplos / Série de Neumann /

 

2.3) Funcionais Lineares / Espaço Dual de um Espaço Vetorial Normado / Teorema de Hahn Banach / Espacos Reflexivos /

       Convergência Fraca / Dimensão.

 

2.4) Teoremas Clássicos / Teorema da Aplicação Aberta / Teorema do Gráfico Fechado / Teorema de Banach-Steinhaus / 

       Teorema da Representação de Riesz /

 

2.5) Projeções / Subespaços Complementares / Convexos Fechados / Projeções /

 

2.6) Sistemas Ortonormais / Conjuntos Ortogonais / Teorema da Projeção / Bases /

 

2.7) Operadores Adjuntos / Adjunto de um Operador / Operadores Auto-Adjuntos /

 

 

 

 

 

 

3.Bibliografia

 

• Simonns, G. F., Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw Hill, (1963).

 

• Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis, John Wiley & Sons, (1978).

 

• Taylor, A. E., Introduction to Functional Analysis, John Wiley & Sons, (1958).

 

• Brezis, H., Analyse Fonctionelle: Theorie et Applications, Masson, (1983).

 

• Lax, P. D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, (2002).

 

• Young, N., An Introduction to Hilbert Space, Cambridge University Press, (2004).

 

• Reed, M. & Simon, B., Methods of Modern Mathematical Physics; Vol. 1 – Function Analysis, Academic Press, New York and London, 1972.