MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Álgebra Linear

Em Breve outros Vídeos selecionados na WEB e, também Nossos Próprios Vídeos, Aguardem!

Este espaço está destinado muito que óbvio a disponibilização de VÍDEOS acrescentando mais dinamismo ao Ensino das Disciplinas. São vídeos de Autores diversos desde os elaborados pela ensinoeinformacao.com ou vídeos postados na internet. Estes provenientes da Internet terão seu conteúdo avaliado (na forma e no conteúdo) pela ensinoeinformacao.com condição “sine qua non” para que os mesmos possam ser publicados, por meio de “Links”, sempre respeitando o direito de autoria – citação da fonte bem como divulgação do nome do Autor.

Vídeo Aulas

ensinoeinformacao - Ensino&Informação - Revista: Demonstração por Indução - Introdução ao Princípio de Indução

 

Publicado em 24 de set de 2015

"O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a Demonstração de fatos referentes aos Números Naturais. Por isso, deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro do arcabouço da Matemática. Entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais." Prof.Elon Lages Lima.
Apresentamos a seguir uma breve exposição sobre os Números Naturais, onde o Princípio da Indução se insere adequadamente e mostra sua força teórica antes de ser utilizado nos Exemplos Práticos propostos nas Vídeo Aulas que se sucedem! Nossa Revista: Ensino&Informação (Facebook)

Demonstração por Indução (Ensino&Informação)

ensinoeinformacao - Ensino&Informação - Revista: Demonstração por Indução - Exemplo 01

 

Publicado em 24 de set de 2015

Um Contra-Exemplo para mostrar que nem sempre uma Propriedade P(n) é válida para todo n ∈ N = {1, 2, 3, 4, ....} Conjunto dos Números Naturais. OBSERVAÇÃO: Há na Literatura autores que Consideram o ZERO como um Número Natural e assim teríamos N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, o que não mudaria em nada o Princípio de Indução e tudo mais relacionado a este Conjunto Numérico! Mais ainda, ou se PROVA que a propriedade Q(n) é válida para todo n ∈ N; ou é preciso de um Contra-Exemplo para mostrar que Q(n) não é válida para certo m ∈ N. Mas se não puder Demonstrar por Indução, por alguma razão, que uma Propriedade é válida para todo n ∈ N, isto não significa que ela venha deixar de ser válida para todo n ∈ N.

 

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ensinoeinformacao - Ensino&Informação - Revista: Demonstração por Indução - Exemplo 02

 

Publicado em 25 de set de 2015

Neste exemplo pode ser visto a Demonstração por Indução para mostrar a validade de uma Expressão Matemática para Determinação da Soma dos n Primeiros Termos de uma Progressão Geométrica Finita.

 

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ensinoeinformacao - Espaço Vetorial: Introdução (Corpos)

Publicado em 06 de out de 2015

Ensino&informação: Esta Vídeo Aula trata do Tópico Espaço Vetorial V sobre um Corpo K. Este tópico faz parte da Disciplina Álgebra Linear (Matemática Pura). Neste Vídeo damos uma Introdução para falar especificamente do que deve ser entendido sobre um Corpo K que é uma Estrutura Matemática dentro da Disciplina Álgebra (Estruturas Algébricas). Não obstante, Um Espaço Vetorial sobre um Corpo K (+ , .) é um caso particular de um K-Módulo visto na Disciplina Álgebra (Estruturas Algébricas). Também um Espaço Vetorial Topológico além da Topologia inerente a sua Definição parte da Hipótese ou Axioma de que as Operações (+) e (.) definidas, respectivamente, por funções f:K x K → K, f(a,b) = a+b e; g:K x K → K, g(a,b) = a.b sejam Contínuas. Outros autores exigem, ainda, que este Espaço Vetorial Topológico seja de Hausdorff. Outros autores exigem, ainda, que a função F:K → K, F(x) = x expo (-1) = 1/x, x diferente de ZERO, seja Contínua...

 

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Espaço Vetorial: Introdução - Corpos  (Ensino&Informação)

ensinoeinformacao - Espaço Vetorial: Definição

 

Publicado em 20 de out de 2015

Espaço Vetorial V sobre um Corpo K é um Tópico que faz parte da Disciplina Álgebra Linear. No Vídeo anterior demos uma noção de Corpo K. Neste outro Vídeo, agora, daremos a Definição do que se deve entender como um Espaço Vetorial o qual é um caso particular de uma Estrutura denominada de K-Módulo dentro da Disciplina de Álgebra (Estruturas Algébricas). Na Aula seguinte vai ser dado ênfase a Definição de Subespaços Vetoriais e Exemplos de Espaço Vetorial e seus correspondentes Subespaços... Nossa Revista: Ensino&Informação (Facebook).

ensinoeinformacao - SUBESPAÇO VETORIAL - INTRODUÇÃO

 

Publicado em 22 de Set de 2019

Considerando a definição de Espaço Vetorial "V" sobre um Corpo "K” dada na Vídeo Aula anterior e em Consequência as Propriedades Adicionais, só então é Definido o que se deve entender por Subespaço Vetorial de "V". É apresentado um Teorema sobre Subespaço Vetorial e um Corolário do mesmo em que deixamos a Definição de Subespaço Vetorial mais enxuta com apenas duas exigências das quais todos os Axiomas de Espaço Vetorial podem ser Verificados como verdadeiros.

 

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ensinoeinformacao - Transformações Lineares - Introdução

 

Publicado em 02 de fev de 2016

Dentro da Área de Matemática Pura temos a Disciplina Álgebra Linear onde abordaremos nesta Vídeo Aula uma Introdução às Transformações Lineares. Uma Explanação mais Detalhada poderá ser vista em Breve! 
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Transformações Lineares  (Ensino&Informação)

ensinoeinformacao -  Transformação Linear: Núcleo e Imagem

 

Publicado em 07 de fev de 2016

Dentro da Área da Matemática Pura temos a Disciplina: Álgebra Linear. Estaremos dando continuidade ao Assunto: Transformações Lineares. Neste Vídeo são abordadas as Definições de Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear "T". Mostramos, também, que tanto o Núcleo e Imagem são Subespaços Vetoriais. Faltou Salientar na hora de Demostrar que o Núcleo é subespaço Vetorial que este Núcleo chamado, também, de Ker(T) é Diferente do Conjunto Vazio - muito fácil, pois pela própria Condição Necessária para T ser Linear é a de que T(0) = 0, isto é, DEVE OBRIGATORIAMENTE levar o Vetor Nulo "0" no Vetor Nulo "0" e assim o Vetor Nulo pertence ao Núcleo de T. Analogamente mostra-se que a Imagem de T, ou seja, Imag(T) como Subespaço Vetorial é antes de mais nada um Conjunto Diferente do Vazio: Senão vejamos, dado w = 0 (Vetor Nulo) no Contradomínio, como T é Linear existe o 0 (Vetor Nulo) no Domínio tal que T(0) = 0.
 

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ensinoeinformacao - ADIÇÃO DE VETORES - Regra do Paralelogramo - Aula 01

 

Publicado em 03 de Out de 2019

Procedimento Geométrico útil na Adição de Vetores no Plano quando não se têm as Coordenadas dos Vetores!

 

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ADIÇÃO DE VETORES - Regra do Paralelogramo - Aula 01

ensinoeinformacao - Operadores Lineares: Introdução

 

Publicado em 18 de jul de 2016

Uma introdução aos Operadores Lineares que é uma caso particular de Transformação Linear de V em W. Neste caso T é uma Transformação Linear de V em V. Damos esta Definição e um Exemplo mostrando como encontrar a Matriz de um Operador Linear (uma Reflexão em relação ao Eixo OX do Sistema de Coordenadas - a Base Canônica já que tomamos como exemplo o Espaço Vetorial R² que tem Dimensão Finita igual a Dois. Falamos que um Conjunto de Operadores Lineares com as Operações de Soma de Transformações; Composição de Transformações Lineares; e a Multiplicação Externa de Uma Transformação Linear por um Escalar do Corpo dos reais no caso este Conjunto Constitui uma Álgebra dos Operadores Lineares. Falamos na Potência de uma Operador Linear, por exemplo, T² = ToT (Composição de T com T). Falos brevemente sobre Mudança de base, principalmente sobre Orientação da Base e que uma Base não Precisa ser a Base Canônica. Mostramos como encontrar a Matriz de um Operador Linear sobre V onde V tem Dimensão Finita. Mostramos que a Matriz Identidade funciona como Elemento Neutro na Operação Interna a Composição de Funções. Orientação da Base muda o Sinal do Determinante cujas Linhas são os Vetores desta Base.


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Operadores Lineares:

Introdução

ensinoeinformacao - O que é e como Calcular? Matrizes 1x1; 2x2; e 3x3

 

Publicado em 23 de ago de 2016

Esta Vídeo Aula faz parte de um Curso tratando sobre determinante. Existe um Roteiro no Início de Cada Vídeo Aula para assegura a continuidade linear das demais Vídeo Aulas. Esta Vídeo Aula, em específico, tem o objetivo de definir o Determinante para Matriz Unitária, Matriz 2 x 2 e Matriz 3 x 3. O contexto é pertinente a Alunos do Ensino Médio, ou seja, de 2º. Grau. 

 

Posteriormente em outras Vídeo Aulas, iremos avançando nas Definições e Propriedades até termos o determinante como uma Função Multilinear...

A Teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos de resolução de Sistemas de Equações Lineares. O determinante de uma matriz consiste em associar à cada matriz quadrada A = [aij]nxn um número real, denotado por det A ou IAI, que satisfaz as propriedades: 

 

1. Se B é obtida de A permutando-se duas linhas (ou colunas) então det B – det A; 

 

2. Se uma das linhas (colunas) da matriz A é combinação linear das demais então det A – 0 (ZERO); 

 

3. det I = 1, onde I é a matriz identidade. Se a matriz A tem ordem n = 1, então det I = a11. No caso de n = 2, det A = a11.a22 – a12.a21 e no caso n = 3 o cálculo pode ser obtido pela Regra de Sarrus. 

 

Para cálculo de determinante de uma matriz de ordem n maior que 3 utilizamos um dos processos: definição (n=2) ou Sarrus (n=3); o processo do Menor Cofator; ou o método mais complicado dado pelo Teorema de Laplace e quanto maior a ordem da matriz, maior é o trabalho para o cálculo do determinante. O objetivo destas Vídeo Aulas sobre DETERMINANTES é o de apresentar o determinante como uma Função Multilinear e Alternada tal que det I = 1 e, além disso, mostrar que esta função coincide com o determinante já conhecido pelos alunos desde o 2º. Grau. Para isso, utilizaremos conceitos de Álgebra Linear. Finalmente comparando com o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n maior que 3 utilizando o Teorema de Laplace e através da definição apresentada para n = 2 e para n=3, verifica-se o quanto é mais simples o cálculo do determinante neste segundo processo.


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Determinante

ensinoeinformacao - Espaço Vetorial das Matrizes Quadradas: Base e Dimensão

 

Publicado em 29 de ago de 2016

Este Vídeo mostra o Conjunto das Matrizes Quadradas como um Espaço Vetorial sobre um Corpo K: Vk(+ , .). Duas Operações: a primeira (+) Adição de Matrizes a Operação Interna onde temos Vk(+) um Grupo Comutativo; a segunda (.) Operação Externa a de Multiplicação de uma Matriz por um Escalar do Corpo K. tanto Vk(+) quanto Vk(.) possui suas propriedades para que Vk(+ , .) venha a ser um Espaço Vetorial.
 

Mostramos que Vk(+ , .) Tem Dimensão Finita iguala 4 já que UMA Base um Conjunto Linearmente Independente formado por 4 Matrizes e que este Conjunto Gera Vk(+ , .).
 

Mostramos que existe um Teorema que afirma que todo Espaço vetorial de Dimensão Finita igual a n é Isomorfo a Rn. Exemplos: Vk(+ , .) das Matrizes Quadradas de Ordem 2 é isomorfo a R4 e que Vk(+ , .) da Matrizes Quadradas de Ordem 3 tem Dimensão igual a 9 e, portanto, este é Isomorfo a R9.
 

Falaremos oportunamente em outra Vídeo Aula especificamente sobre Isomorfismo entre Espaços Vetoriais!


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Espaço Vetorial das Matrizes Quadradas: Base e Dimensão

ensinoeinformacao - Determinate de uma atriz 4x4

 

Publicado em 08 de ago de 2016

Nesta Vídeo Aula estaremos mostrando como se calcula o Determinante de uma Matriz Quadrada de ordem 4x4. Para calcular este determinante, estaremos utilizando o Método do Menor Cofator que consiste em: Escolhida uma Linha ou Coluna que contenha o maior número de ZEROS e aplicada uma Expressão que implica em se calcular 4 sub-Determinantes de ordem Matrizes 3x3 usando a mesma Expressão e que no final se calcula para cada Matriz 3x3 mais 3 determinantes de Matrizes 2x2 - Neste Método se vai reduzindo a Ordem da Matriz dada até sub-Matrizes de Ordem 2x2. Isto significaria, no PIOR CASO onde a Matriz dada não apresenta nenhum ZERO, que estaremos calculando 4x3=12 Determinantes de Matriz 2x2, isto se não utilizarmos o Método de SARRUS para as sub-Matrizes 3x3!

Observação: O Cálculo de um Determinante 4x4, por exemplo, já é trabalhoso na Prática, pois exige Tempo e Espaço de Memória para o cálculo dos sub-determinantes envolvidos!


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Determinate: Matriz 4x4

ensinoeinformacao - Sistemas Lineares - Resolução Método de Gauss-Jordan

 

Publicado em 12 de out de 2016

Sistemas Lineares - Resolução Método de Gauss Jordan. Este é o Método que é utilizado Computacionalmente por ser mais viável para Sistema de Grande Porte nas Engenharia e Física que resulta em resolver um Sistema Linear com um Número significativamente Grande de Equações e Variáveis por ter este Método um Algoritmo de Ordem  de Complexidade aceitável na Prática fato que não acontece se tentarmos implementar um Algoritmo usando Regra de Cramer isto é, o uso de Determinante.
Este Aspecto Computacional será tratado mais especificamente em Detalhes em outra Vídeo Aula!


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Sistemas Lineares - Resolução Método de Gauss-Jordan

ensinoeinformacao - Operadores Lineares no Espaço das Funções Diferenciáveis - Autovalor e Autovetor

 

Publicado em 08 de out de 2016

Nesta Vídeo Aula é apresentado um exemplo de Operador Linear no Espaço Vetorial (sobre o Corpo K = ℝ) das Funções Diferenciáveis f:U⊆ℝ→ℝ. Este Operador Linear é a Derivada que toma a função f e leva na Derivada de f denotado por D(f). As funções f aqui são Vetores e assim, estamos investigando a Existência de Autovalor e seus respectivos Autovetores, isto é, dado v=f quer se saber se existe um Escalar λ ∊ K=ℝ tal que D(v) = λv.

 

Iniciamos por enfatizar que o Espaço Vetorial das Funções Diferenciáveis tem Dimensão Infinita. 

 

Depois mostramos que o Conjuntos das funções f:U⊆ℝ→ℝ munido da Operação Interna Adição de Funções e a da Operação externa Multiplicação de uma Função por um Escalar do Corpo K este Conjunto com estas duas Operações constitui uma Estrutura Algébrica de Espaço Vetorial sobre o Corpo K.

 

Mostramos que de fato o Conjunto da Funções Diferenciáveis munido das duas Operações uma Interna (Adição de Funções) e a Operação Externa (Multiplicação de uma Função por um Escalar do Corpo K) é um Espaço Vetorial... muito disso vem das propriedades da Derivada: D(f +g) = D(f) + D(g); e D(αf) = αD(f). Aí a consequência e equivalente, também, constatação de que D é um Operador Linear.

 

Na próxima Vídeo Aula estaremos mostrando como se determinam, através de cálculos, os Autovalores e Autovetores de Operadores Lineares de Vetores no Plano R² e no Espaço Tridimensional R³. Aguardem!


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Operadores Lineares no Espaço das Funções Diferenciáveis - Autovalor e Autovetor

ensinoeinformacao - Operador Linear - Como encontrar os Autovalores e Autovetores - Exercício 01​

 

Publicado em 08 de out de 2016

Uma Aula prática com exercício mostrando como se determinam os Autovalores e respectivos Autovetores de um Operador de R² em R².

Precisamos do conhecimento sobre Sistemas Lineares Homogêneo onde se busca o Determinante da Matriz dos Coeficientes. Se este Determinante é DIFERENTE de ZERO, então o Sistema só possui a Solução Trivial no caso de R² x=0 e y=0. Mas, estamos em busca de Autovalores e, assim, desejamos que o Determinante seja IGUAL a ZERO onde resulta achar os Zeros de um Polinômio de Grau 2 cujas Raízes são os Autovalores procurados.

 

A partir dentes Autovalores encontramos os Autovetores correspondentes - Determinante IGUAL a ZERO implica que o Sistema possui Infinitas Soluções - encontremos uma que já será o suficiente pois as outras são múltiplas da anterior

 

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Operadores Lineares - Como encontrar os Autovalores e Autovetores - Exercício 01

ensinoeinformacao - Cardinalidade: Hipótese do Contínuo

 

Publicado em 04 de nov de 2016

Teorema muito Bonito mostra que NÃO existe nenhum Conjunto H com C ⊂ H ⊂ C, tal que #H ≠ #ℚ ou que #H ≠ #ℝ. isto é mostrado por Redução ao Absurdo admitindo que exista uma Função Injetora g:H→ℝ (ou g:ℚ→H), ou seja de que #H < #ℝ e acaba a DEMONSTRAÇÃO mostrando-se que g deve ser SOBREJETORA o que levaria a que #H = #ℝ uma Contradição. Esta é a Hipótese do Continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:
Não existe nenhum Conjunto com Cardinalidade Maior do que a Cardinalidade dos Números Racionais e com Cardinalidade Menor do que a Cardinalidade do Números Reais.

Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

 

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Cardinalidade: Hipótese do Contínuo

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Número de Subconjuntos de um Conjunto Finito - Como Determinar?

ensinoeinformacao - Número de Subconjuntos de um Conjunto Finito - Como Determinar?

 

Publicado em 11 de out de 2016

Esta Vídeo Aula tem por objetivo mostrar como Determinar o Número de Subconjuntos de um Conjunto Finito contendo n Elementos. Para isso, utilizaremos o Binômio de Newton e a solução para este problema é imediata através da Soma dos Coeficientes Binomiais que dá o resultado desejado!

 

Lembrando, da Análise Combinatória, que o Número de Combinações de n Elementos tomados k a k é dado por:
C m,k = n!/k!(n-k)!

 

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ensinoeinformacao - Conjuntos Enumeráveis e NÃO Enumeráveis

 

Publicado em 10 de out de 2016

Cardinalidade ou Número Cardinal:

 

Na matemática, a cardinalidade de um conjunto é uma medida do "número de elementos" do conjunto. Por exemplo, o conjunto A={2,4,6} contém 3 elementos e por isso possui Cardinalidade # = 3.

 

Mais precisamente, a Definição de Cardinalidade não Intrínseca a um Conjunto. É uma Definição onde são comparados Conjuntos. E dizemos que dois Conjuntos A e B têm a mesma Cardinalidade se, e somente se, existir uma um Função Bijetora (Injetora e Sobrejetora) f:A →B. Assim, dois Conjuntos M e N Finitos  contendo "n" Elementos têm a mesma Cardinalidade se, e somente se, #M = #N = n, isto é, se estes dois conjunto têm o mesmo Número de Elementos n. 

 

Os Conjuntos dos Números Naturais ℕ; Conjunto dos Números Inteiros ℤ; e o Conjunto dos Números Racionais ℚ têm a mesma Cardinalidade denotada por (# = 2 elevado a N). 

Por outro lado, o Conjunto dos Números Reais ℝ e Números Complexos ℂ e qualquer Intervalo da Reta têm a mesma Cardinalidade de notada por "C" a Cardinalidade do CONTÍNUO.

 

Teorema muito Bonito mostra que NÃO existe nenhum Conjunto H com C ⊂ H ⊂ C, tal que #H ≠ #ℚ ou que #H ≠ #ℝ. isto é mostrado por Redução ao Absurdo admitindo que exista uma Função Injetora g:H→ℝ (ou g:ℚ→H), ou seja de que #H < #ℝ e acaba a DEMONSTRAÇÃO mostrando-se que g deve ser SOBREJETORA o que levaria a que #H = #ℝ uma Contradição. Esta é a Hipótese do Continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:
Não existe nenhum Conjunto com Cardinalidade Maior do que a Cardinalidade dos Números Racionais e com Cardinalidade Menor do que a Cardinalidade do Números Reais.

Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

 

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Cardinalidade 

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ensinoeinformacao - Todo Corpo é Espaço Vetorial sobre si mesmo!

 

Publicado em 10 de Jun de 2018

 

 

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Todo Corpo é Espaço Vetorial sobre si mesmo!

ensinoeinformacao - Ensino&Informação - Revista: Todo Corpo é Espaço Vetorial sobre si mesmo - Corpos Finitos - Aula 02

 

Publicado em 18 de Jun de 2018

 

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Todo Corpo é Espaço Vetorial sobre si mesmo - Corpos Finitos - Aula 02!

ensinoeinformacao - PRODUTO VETORIAL É UM NÚMERO OU UM VETOR ? Definição e Exemplos

 

Publicado em 28 de Jun de 2018

Se desejar sem Detalhes (introdução) é só ir para 04:22 minutos !
Exemplo prático do Cálculo do Produto Vetorial o qual resulta em outro vetor!

Pré-requisitos:
1) Vetores em R³;
2) Determinante de Matriz 3x3

 

Lá vai Link para aqueles que desejarem mais a respeito de Cálculo de Determinante usando o "Método do Menor Cofator" (Exemplo de Matriz 4x4): 
https://youtu.be/MmFJTI7u4U8
_____________________________

Tem também outra Vídeo Aula sobre Determinante de Matriz 1x1, 2x2, e 3x3:   
https://youtu.be/QbtWWFCxW9A

 

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PRODUTO VETORIAL É UM NÚMERO OU UM VETOR ?  Definição e Exemplos

ensinoeinformacao - Matriz da Transformação Linear - Exercício Resolvido

 

Publicado em 11 de Set de 2018

Exercício:

Dada uma Transformação Linear T: R² → R³, encontrar a Matriz de T numa Base dada de R².

 

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Matriz da Transformação Linear - Exercício Resolvido

ensinoeinformacao - Operador Linear Inversível - Exercício Resolvido

 

Publicado em 15 de Set de 2018

Operador Linear T: R² → R². Mostramos em que condições este Operador é Inversível. Encontramos a Inversa deste Operador em que usamos o Método da Matriz Ajunta - Inversão de Matriz para encontrar a Matriz do Operador Inverso de T.

 

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Operador Linear Inversível - Exercício Resolvido

ensinoeinformacaoO QUE É UMA RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - AULA 03

 

Publicado em 10 de Dez de 2018

(Aula 03) Um tipo especial de Relação de um Conjunto a em si mesmo. Esta Relação deve obedecer três propriedades!


(Lesson 03) A special type of Relationship of a Set to itself. This relationship must obey three properties!

 

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ensinoeinformacaoESPAÇO VETORIAL DOS POLINÔMIOS DE Grau ≤ n | BASE E DIMENSÃO

 

Publicado em 14 de Abr de 2019

Como exemplo tomamos o Conjunto dos Polinômios p(x) de Grau ≤ n = 3. Mostramos que Este conjunto munido das Operações de Adição de Polinômios e Multiplicação de Polinômio por um Escalar (Número Real) é um Espaço Vetorial sobre o Corpo dos Reais. Determinamos uma Base e a Dimensão deste Espaço Vetorial.

 

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ESPAÇO VETORIAL DOS POLINÔMIOS DE Grau ≤ n | BASE E DIMENSÃO

ensinoeinformacaoCONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA UMA FUNÇÃO SER TRANSFORMAÇÃO LINEAR - Parte 02

 

Publicado em 30 de Abr de 2019

(Parte 02) Condição Necessária é útil para verificarmos mais de imediato que uma certa função dada NÃO é Transformação Linear.

 

Observação: Esta Condição não é Suficiente para que afirmemos que tal função dada seja uma Transformação Linear!

 

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CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA UMA FUNÇÃO SER TRANSFORMAÇÃO LINEAR - Parte 02

ensinoeinformacaoTRANSFORMAÇÃO LINEAR - NÚCLEO E INJETIVIDADE, QUAL É A RELAÇÃO? - Parte 01

 

Publicado em 01 de Mai de 2019

(Parte 01) NÚCLEO E INJETIVIDADE, QUAL É A RELAÇÃO?: Demonstração de que uma Transformação Linear é Injetora se, e somente se, o Núcleo desta Transformação contém somente o Vetor Nulo.

 

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TRANSFORMAÇÃO LINEAR - NÚCLEO E INJETIVIDADE, QUAL É A RELAÇÃO? - Parte 01

ensinoeinformacaoA TRANSFORMAÇÃO LINEAR É INJETORA ? DETERMINE SEU NÚCLEO - EXERCÍCIO 01

 

Publicado em 03 de Mai de 2019

(Exercício 01) Exercício para ajudar no entendimento a respeito da Relação que existe entre uma Transformação Linear ser ou NÃO Injetora e Núcleo desta Transformação linear. Neste Exemplo a Transformação é Injetora!

 

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A TRANSFORMAÇÃO LINEAR É INJETORA ? DETERMINE SEU NÚCLEO - EXERCÍCIO 01

ensinoeinformacaoA TRANSFORMAÇÃO LINEAR É INJETORA ? DETERMINE SEU NÚCLEO - EXERCÍCIO 02

 

Publicado em 04 de Mai de 2019

(Exercício 01) Exercício para ajudar no entendimento a respeito da Relação que existe entre uma Transformação Linear ser ou NÃO Injetora e Núcleo desta Transformação linear. Neste Exemplo a Transformação é Injetora!

 

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A TRANSFORMAÇÃO LINEAR É INJETORA ? DETERMINE SEU NÚCLEO - EXERCÍCIO 02

ensinoeinformacaoA TRANSFORMAÇÃO LINEAR É INJETORA ? DETERMINE SEU NÚCLEO - EXERCÍCIO 03

 

Publicado em 05 de Mai de 2019

(Exercício 01) Exercício para ajudar no entendimento a respeito da Relação que existe entre uma Transformação Linear ser ou NÃO Injetora e Núcleo desta Transformação linear. Neste Exemplo a Transformação NÃO é Injetora!

 

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A TRANSFORMAÇÃO LINEAR É INJETORA ? DETERMINE SEU NÚCLEO - EXERCÍCIO 03

ensinoeinformacaoOPERADOR LINEAR - AUTOVETORES E AUTOVALORES - EXERCÍCIO

 

Publicado em 07 de Jul de 2019

OPERADOR LINEAR - AUTOVETORES E AUTOVALORES - EXERCÍCIO

 

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OPERADOR LINEAR - AUTOVETORES E AUTOVALORES - EXERCÍCIO

ensinoeinformacaoOPERADOR LINEAR DIAGONALIZÁVEL - MATRIZ DIAGONALIZÁVEL - EXERCÍCIO 01

 

Publicado em 12 de Jul de 2019

ERRATA: O elemento -1/5 que aparece na Matriz B corrigir SUBSTITUINDO por -2/5.
Definição e Exemplo (Exercício) onde temos um Operador Linear de R² em R² o qual é Diagonalizável.


Na próxima Vídeo Aulas daremos exemplo de um Operador Linear de R³ em R³ o qual NÃO é Diagonalizável. Aguardem!

 

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OPERADOR LINEAR DIAGONALIZÁVEL - MATRIZ DIAGONALIZÁVEL - EXERCÍCIO 01

ensinoeinformacaoOPERADOR LINEAR DIAGONALIZÁVEL - MATRIZ DIAGONALIZÁVEL - EXERCÍCIO 02

 

Publicado em 13 de Jul de 2019

(EXERCÍCIO 02) MATRIZ DIAGONALIZÁVEL: Nesta Vídeo Aula é dado exemplo de um Operador Linear de R³ em R³ NÃO Diagonalizável considerando o Corpo dos Números Reais. Veja o que muda quando consideramos o Corpo dos Números Complexos!
Link da Vídeo Aula Anterior: https://youtu.be/Ez-131p0zpk

 

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OPERADOR LINEAR DIAGONALIZÁVEL - MATRIZ DIAGONALIZÁVEL - EXERCÍCIO 02

ensinoeinformacaoÁLGEBRA LINEAR / ESTATÍSTICA - DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZ - UMA APLICAÇÃO EM ESTATÍSTICA

 

Publicado em 14 de Jul de 2019

MATRIZ OU OPERADOR LINEAR DIAGONALIZÁVEL - UMA APLICAÇÃO EM ESTATÍSTICA

 

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ÁLGEBRA LINEAR / ESTATÍSTICA - DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZ - UMA APLICAÇÃO EM ESTATÍSTICA

ensinoeinformacaoOPERAÇÕES COM OPERADORES LINEARES - UMA ÁLGEBRA !

 

Publicado em 18 de Jul de 2019

Objetivo da Vídeo Aula é mostrar que Operações com Operadores Lineares definem uma Álgebra dos Operadores Lineares!

 

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OPERAÇÕES COM OPERADORES LINEARES - UMA ÁLGEBRA !

ensinoeinformacaoO QUE É UM ESPAÇO VETORIAL ?

 

Publicado em 23 de Set de 2019

Apresentamos os AXIOMAS que definem um Espaço Vetorial.

 

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O QUE É UM ESPAÇO VETORIAL ?

ensinoeinformacaoESPAÇO VETORIAL - PROPRIEDADES ADICIONAIS !

 

Publicado em 24 de Set de 2019

Como Consequências da Definições (ou AXIOMAS) de Espaço Vetorial resultam algumas Propriedades Adicionais as quais são vistas neste Vídeo.


Esperamos que a compreensão sobre o Assunto lhe garanta êxito em seus Estudos Acadêmicos!

 

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ESPAÇO VETORIAL - PROPRIEDADES ADICIONAIS !

ensinoeinformacaoSUBESPAÇO VETORIAL DAS MATRIZES QUADRADAS 2 x 2

 

Publicado em 26 de Set de 2019

Para mostrar que um Vetor não é somente aquele "segmento de reta orientado" visto no 2o Grau, apresentamos o Espaço Vetorial das Matrizes de Ordem n x m (n e m são quaisquer, mas fixos) e um correspondente Subespaço Vetorial como sendo o das Matrizes Quadradas (n=m=2) de Ordem 2 x 2. Assim, uma Matriz é um VETOR!

 

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Para que o Vídeo não fosse muito LONGO e tendo em vista que falos nos AXIOMAS de Espaços Vetoriais em Aulas Anteriores, suprimimos mais do que devíamos dos outros Axiomas como os que complementaremos agora:
c) ∀ u, v ∈ V, deve ser obedecido: u + v = v + u. Propriedade Comutativa da Adição de Matrizes, pois temos que ter um Grupo com respeito à Adição de Matrizes; 
d) ∀ α, β ∈ R (R o Corpo dos Números Reais, por exemplo) e ∀ u ∈ V, deve ser obedecido: (α + β) . u = α . u +  β. u (não pode ser chamada de Distributiva, pois as Operações e os dois Conjuntos (Corpo) e V são distintos!
e) ∀ α ∈ R (R o Corpo dos Números Reais, por exemplo) e ∀ u e v ∈ V, deve ser obedecido: α . (u + v) = α . u +  α. v (não pode ser chamada de Distributiva, pois as Operações e os dois Conjuntos (Corpo) e V são distintos!
f) d) ∀ α, β ∈ R (R o Corpo dos Números Reais, por exemplo) e ∀ u ∈ V, deve ser obedecido: αβ  . u = α . (β . u) (não pode ser chamada de Associativa, pois as Operações e os dois Conjuntos (Corpo: a operação Interna de Multiplicação de escalar por escalar) e V são distintos e a Operação Externa β . u!
_______________
As Propriedades Acionais Consequências dos AXIOMAS (DEFINIÇÕES) podem ser vistas na Vídeo Aula: https://youtu.be/TzrMSN6TQnM

 

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SUBESPAÇO VETORIAL DAS MATRIZES QUADRADAS 2 x 2

ensinoeinformacao - ADIÇÃO DE VETORES - Regra do Paralelogramo - Aula 01

 

Publicado em 03 de Out de 2019

Procedimento Geométrico útil na Adição de Vetores no Plano quando não se têm as Coordenadas dos Vetores!

 

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ADIÇÃO DE VETORES - Regra do Paralelogramo - Aula 01

ensinoeinformacao - PRODUTO ESCALAR É UM NÚMERO OU UM VETOR ?  É UM CASO PARTICULAR DE PRODUTO INTERNO !

 

Publicado em 23 de Out de 2019

Exemplo de Produto Escalar são dados considerando Vetores em R (Reta); em R² (no Plano) ; e em R³ (no Espaço Tridimensional). Consideramos os Valores do Produto Escalar entre os  vetores u e v, onde procuramos relacionar este Valor do Produto Escalar com o Ângulo entre u e v dados!

 

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PRODUTO ESCALAR É UM NÚMERO OU UM VETOR ?  É UM CASO PARTICULAR DE PRODUTO INTERNO !

ensinoeinformacao - O QUÊ É UMA COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - Aula 01

 

Publicado em 29 de Out de 2019

Uma Introdução ao que desejamos abordar sobre Combinação Linear de Vetores!

 

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O QUÊ É UMA COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - Aula 01

ensinoeinformacao - O QUÊ É UM SEGMENTO DE RETA ORIENTADO ? - Aula 02

 

Publicado em 30 de Out de 2019

(Aula 02) O QUÊ É UM SEGMENTO DE RETA ORIENTADO ?

 

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 O QUÊ É UM SEGMENTO DE RETA ORIENTADO ? - Aula 02 

ensinoeinformacao - EXEMPLOS DE COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - EXEMPLO 01 - Aula 03

 

Publicado em 31 de Out de 2019

(Aula 03) EXEMPLOS DE COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - EXEMPLO 01

 

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EXEMPLOS DE COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - EXEMPLO 01 - Aula 03

ensinoeinformacao - COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - SIGNIFICADO GEOMÉTRICO PARA VETORES EM R² (PLANO) - Aula 04

 

Publicado em 01 de Nov de 2019

(Aula 04) COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - SIGNIFICADO GEOMÉTRICO PARA VETORES EM R² (PLANO).

 

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COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - SIGNIFICADO GEOMÉTRICO PARA VETORES EM R² (PLANO) - Aula 04

ensinoeinformacao - EXEMPLOS DE COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - EXEMPLO 02 - Aula 05

 

Publicado em 02 de Nov de 2019

(Aula 05) EXEMPLO 02 - EXEMPLOS DE COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES

 

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EXEMPLOS DE COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - EXEMPLO 02 - Aula 05

ensinoeinformacao - EXEMPLOS DE COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - EXEMPLO 03 - Aula 06

 

Publicado em 03 de Nov de 2019

(Aula 06) EXEMPLO 03 - EXEMPLOS DE COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES.

Nesta Vídeo Aula nós já mencionamos: Vetores serem Linearmente Independentes; Conceito de Base de um Espaço Vetorial; e Vetores que Geram um Espaço Vetorial. 
Numa Aula oportuna nó iremos adentrar nestes Conceito ou Definições!

 

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EXEMPLOS DE COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - EXEMPLO 03 - Aula 06

ensinoeinformacao - EXEMPLOS DE COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - EXEMPLO 04 - Aula 07

 

Publicado em 03 de Nov de 2019

(Aula 07) EXEMPLO 04 - Nesta Vídeo Aula nós já é dada uma Definição informal de Vetores serem Linearmente Independentes.  Numa Aula oportuna nós iremos adentrar neste Conceito ou Definição!

 

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EXEMPLOS DE COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES - EXEMPLO 04 - Aula 07

ensinoeinformacao - OPERADORES LINEARES - ORIENTAÇÃO DA BASE

 

Publicado em 06 de Nov de 2019

OPERADORES LINEARES - ORIENTAÇÃO DA BASE

 

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OPERADORES LINEARES - ORIENTAÇÃO DA BASE

ensinoeinformacao - VETORES ORTOGONAIS e PRODUTO ESCALAR

 

Publicado em 09 de Nov de 2019

VÍDEO 313 - Mostraremos neste Vídeo a Relação entre o valor do Produto Escalar entre dois vetores u e v dados quaisquer e o fato destes vetores serem ou não Ortogonais! Para isso, usaremos apenas as Normas de u, de v e de u+v. 

 

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VETORES ORTOGONAIS e PRODUTO ESCALAR

ensinoeinformacao - Matrizes Inversas, Espaço das Coluna e Espaço Nulo, Posto da matriz, Determinante, Núcleo da Transformação Linear - Essência da Álgebra Linear

 

Publicado em 03 de Fev de 2020

Ensino&Informação: Neste Vídeo são feitos comentários relacionando: Sistemas Lineares; Método de Escalonamento (Método de Eliminação de Gauss-Jordan); Determinante ser ou não igual a ZERO; Inversão de Matriz para resolver um Sistema Linear nxn; Matriz como uma Transformação Linear; Inversa de um Operador Linear sendo obtido invertendo a sua matriz; Vetor nulo; núcleo de uma transformação linear (quais vetores são levados no vetor nulo?); Posto de uma matriz para determinar de existe infinitas soluções ou única de um Sistema Linear; Espaço das Linhas e Espaço das Colunas; Uma Rotação de 90o para dar exemplo de um operador que é inversível. Núcleo de uma transformação Linear. Imagem de uma Transformação Linear e problemas de encontrar autovalores e seus autovetores. Em Estruturas Algébricas uma atriz por si só com suas operações sendo um Espaço Vetorial e um Anel Não Comutativo, mas tendo uma Unidade. Tudo isso com um apelo à Geometria: Vetores em R, R² e R³ e as considerações ali feitas

 

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Matrizes Inversas, Espaço das Coluna e Espaço Nulo, Posto da matriz, Determinante, Núcleo da Transformação Linear - Essência da Álgebra Linear

ensinoeinformacao - VETORES L. D. & VETORES L. I. - Exercício 01 - Parte I

 

Publicado em 06 de Fev de 2020

(Exercício 01 - Parte I) Verifique se os seguintes vetores são L.I. ou L.D. Justifique sua resposta! Itens a), b), e c). Faremos uma segunda Vídeo Aula a (Parte II) onde resolveremos mais quatro itens: d), e), f) e g). Aguardem!

 

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VETORES L. D. & VETORES L. I. - Exercício 01 - Parte I

ensinoeinformacao - VETORES L. D. & VETORES L. I. - Exercício 01- Parte II

 

Publicado em 09 de Fev de 2020

(Exercício 01 - Parte II) Verifique se os seguintes vetores são L.I. ou L.D. Justifique sua resposta! Itens d), e), f) e g).

 

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VETORES L. D. & VETORES L. I. - Exercício 01 - Parte II

ensinoeinformacao - SUBESPAÇOS GERADOS - EXERCÍCIO 01

 

Publicado em 10 de Fev de 2020

Exercício 01: Qual é a Dimensão do Subespaço dado. Forme uma Base para este Subespaço justificando assim sua resposta!
 

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SUBESPAÇOS GERADOS - EXERCÍCIO 01

ensinoeinformacao - SUBESPAÇOS GERADOS - EXERCÍCIO 02

 

Publicado em 11 de Fev de 2020

Exercício 02: Qual é o Subespaço Gerado pelos vetores dados? Justificando sua resposta!

 

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SUBESPAÇOS GERADOS - EXERCÍCIO 02

ensinoeinformacao - Espaços Vetoriais mais Abstratos - Essência da Álgebra Linear, Capítulo 11

 

Publicado em 17 de Mar de 2020

Ensino&Informação: Vídeo para mostrar que Espaço Vetoriais não é somente aquele onde um Vetor é um Segmento de Reta Orientado ... aquele onde tem um Segmento com uma Seta, mas vetor como sendo uma Matriz, um Polinômio ou uma Função. Então Transformações Lineares e/ou Operador Linear pode ser algo mais geral como sendo a Derivada ou Diferencial. Este Operador deve PRESERVAR as Operações Internas e Externas (multiplicação por escalar) de Espaços Vetoriais mais gerais. Definições de Base e Dimensão são comentados. As ferramentas da Álgebra Linear são extremamente gerais, aplicando-se não apenas aos Vetores familiares que imaginamos como setas no espaço, mas a todos os tipos de objetos matemáticos, como Funções. Essa generalidade é capturada com a noção de um Espaço Vetorial mais abstrato. Uma vídeo Aula não para você aprender Álgebra Linear, mas esta vídeo Aula tem um ingrediente a mais que é a ANIMAÇÃO e muita informação gráfica que lhe ajudará a fixar ou motivar você o Aprendizado de Álgebra Linear Excelentes Vídeos de animação para o entendimento da Matemática de uma maneira bem diferente do que normalmente lhes é ensinado em sala de aula. Parabéns ao Canal "3Blue1Brown" e que este nos permita passar a frente aqui no Brasil este excelente Trabalho.

 

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Espaços Vetoriais mais Abstratos - Essência da Álgebra Linear, Capítulo 11

ensinoeinformacao - A FUNÇÃO É TRANSFORMAÇÃO LINEAR ? EXERCÍCIO RESOLVIDO PASSO-A -PASSO

 

Publicado em 06 de Mai de 2020

Verifique se as seguintes funções são Transformações Lineares. Justifique sua resposta!

a) T:R²→ R³ onde T(x, y)=(3x, -2y, x-y);

 

b) T:R³→ R² onde T(x, y, z)=(x+y, y+1);

 

c) T:R → R onde T(x) = x².

 

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A FUNÇÃO É TRANSFORMAÇÃO LINEAR ? EXERCÍCIO RESOLVIDO PASSO-A -PASSO

  A partir de 03 Maio de 2018

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ensinoeinformacao - COORDENADAS POLARES - DEFINIÇÃO: Aula 01

 

Publicado em 14 de Out de 2020

Apenas definir o que deve entender por Coordenadas Polares. OBSERVAÇÃO: Ficou faltando mostrar como é calculado o valor do Ângulo θ. Dado o Ponto A(x,y), Tangente de θ é obtida por: Tangθ = y/x, para x ≠ 0. Assim, θ = ArcTang(y/x) - Arco cuja tangente é θ. Exemplo: A(1,1), Tangθ = 1/1 = 1 e portanto θ = ArcTag(1) = 45o = π/4. Daremos prosseguimento em Vídeo Aulas Subsequentes!

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COORDENADAS POLARES - DEFINIÇÃO: Aula 01

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