MATEMÁTICA PURA

Este espaço está destinado muito que óbvio a disponibilização de VÍDEOS acrescentando mais dinamismo ao Ensino das Disciplinas. São vídeos de Autores diversos desde os elaborados pela ensinoeinformacao.com ou vídeos postados na internet. Estes provenientes da Internet terão seu conteúdo avaliado (na forma e no conteúdo) pela ensinoeinformacao.com condição “sine qua non” para que os mesmos possam ser publicados, por meio de “Links”, sempre respeitando o direito de autoria – citação da fonte bem como divulgação do nome do Autor.

Vídeo Aulas

Disciplina: Álgebra (Estruturas Algébricas)

 

Nota Ensino&Informação: O Teorema de Cayley afirma que qualquer Grupo Finito é Isomorfo a um Grupo de Permutações. O Grupo Simétrico Sn é o Grupo de todas as Permutações dos "n" Elementos de um Conjunto com "n" Elementos.

ensinoeinformacao - Demonstração por Indução - Introdução ao Princípio de Indução

 

Publicado em 24 de set de 2015

"O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a Demonstração de fatos referentes aos Números Naturais. Por isso, deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro do arcabouço da Matemática. Entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais." Prof.Elon Lages Lima.
Apresentamos a seguir uma breve exposição sobre os Números Naturais, onde o Princípio da Indução se insere adequadamente e mostra sua força teórica antes de ser utilizado nos Exemplos Práticos propostos nas Vídeo Aulas que se sucedem!

Demonstração por Indução (Ensino&Informação)

ensinoeinformacao - Demonstração por Indução - Exemplo 01

 

Publicado em 24 de set de 2015

Um Contra-Exemplo para mostrar que nem sempre uma Propriedade P(n) é válida para todo n ∈ N = {1, 2, 3, 4, ....} Conjunto dos Números Naturais. OBSERVAÇÃO: Há na Literatura autores que Consideram o ZERO como um Número Natural e assim teríamos N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, o que não mudaria em nada o Princípio de Indução e tudo mais relacionado a este Conjunto Numérico! Mais ainda, ou se PROVA que a propriedade Q(n) é válida para todo n ∈ N; ou é preciso de um Contra-Exemplo para mostrar que Q(n) não é válida para certo m ∈ N. Mas se não puder Demonstrar por Indução, por alguma razão, que uma Propriedade é válida para todo n ∈ N, isto não significa que ela venha deixar de ser válida para todo n ∈ N.

ensinoeinformacao -  Demonstração por Indução - Exemplo 02

 

Publicado em 25 de set de 2015

Neste exemplo pode ser visto a Demonstração por Indução para mostrar a validade de uma Expressão Matemática para Determinação da Soma dos n Primeiros Termos de uma Progressão Geométrica Finita.

ensinoeinformacao - Corpos (Definição)

 

Publicado em 09 de out de 2015

Este Vídeo faz parte da Disciplina Álgebra (estruturas Algébricas) dentro de Matemática Pura. O Tópico abordado é Corpos e um Vídeo análogo já existe quando tratamos do Tópicos Espaço Vetorial sobre um Corpo K e este tópico dentro da Disciplina Álgebra Linear. As duas Disciplinas se misturam já que um Espaço Vetorial sobre um Corpo K é um caso particular de uma Estrutura Algébrica denominada de K-Módulo. Além disso, K= R os Reais é, além de ser um Corpo em si, é também um Espaço Vetorial sobre si mesmo. Também iremos salientar que existem Corpos Infinitos como R e Finitos como Zp* onde p é um Número Primo. Iremos enfatizar que (K,+.) duas Operações Interna em K é, antes de mais nada, um Anel Comutativo com Unidade o “1” – e assim sendo um Anel ele possui outras propriedade como se a pertence a K, então 0.a=a.0=0 (0 é o Zero elemento Neutro da Adição +) e um Domínio de Integridade (se a.b = 0, então a=0 ou b=0) e por conseguinte obedece a Lei do Cancelamento que diz que se a.b=a.c, então b=c.

Corpos - Definição (Ensino&Informação)

ensinoeinformacao - Corpos: Propriedades Adicionais e Exemplos

 

Publicado em 11 de out de 2015

Este Vídeo faz parte da Disciplina Álgebra (Estruturas Algébricas) dentro da Área de Matemática Pura. Neste Vídeo são vistas Algumas outras Propriedades que um Corpo K possui. Temos um Anel (K,+.) com duas Operações Internas em K (“+” é a Adição e “.” é a Multiplicação). Este K(+,.) é um Anel Comutativo com Unidade o “1” – e assim sendo este tipo de Anel possui, por consequência da sua Definição, outras propriedades tais como: a) se “a” pertence a K, então 0.a=a.0=0 (0 é o Zero Elemento Neutro da Adição +); b) é um Anel de Integridade (se a.b = 0, então obrigatoriamente a=0 ou b=0, para todo “a” e “b” em K); Equivalente a esta propriedade temos que este Anel obedece a Lei do Cancelamento que diz que se a.b=a.c, então b=c, para quaisquer “a”, “b” e “c” em K. Outras propriedades que não aparecem neste Vídeo dizem, por exemplo, que: i) Todo Anel de Integridade FINITO é um Corpo; ii) Todo Corpo é um Anel de Integridade. 

ERRATA:

Cometemos um ERRO no início da Video Aula: Onde na Tabela de Multiplicação em K 4barra vezes 4barra = 16barra. 16÷5=3 e dá RESTO igual a 1. Logo, 4barra vezes 4barra = 16barra = 1barra. Logo, o inverso multiplicativo de 4barra é ele próprio o 4barra.

ensinoeinformacao - Grupo de Permutações - Introdução

 

Publicado em 30 de out de 2015

Álgebra (Estruturas Algébricas). O Objetivo desta Vídeo Aula é dar uma Introdução aos Grupos de Permutações denominados por Sn. Iniciaremos por estudar, em particular o Grupo S3 e seus Subgrupos. 

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Grupos e Subgrupos (Ensino&Informação)

ensinoeinformacao - Os Inteiros: Anel Comutativo com Unidade

 

Publicado em 19 de dez de 2015

O Conjunto dos Números Inteiros Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} munido com duas Operações Internas a Adição (+) e a Multiplicação (.) é o Exemplo Clássico de Anel Comutativo com Unidade. Começamos a abordagem Mostrando que o Conjunto dos Números Naturais N = {1, 2, 3,. ..} não possui Elemento Simétrico com respeito à Operação de Adição, isto é a Equação x + 2 = 3 Não Possui Solução em N - nesta mesma linha de pensamento, podemos ver que N não possui Elemento Simétrico ou seja, dados n, m ∈ N, não existe solução para n+m = 0 (n teria que ser o simétrico de m e vice-versa). Aí entra a questão de se ampliar N adicionando os Números Negativos e o Zero para obtermos o Conjunto Z dos Números Inteiros e aí possuindo uma Estrutura Algébrica de Anel além disso de Anel Comutativo com Unidade.

 

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Anéis e Subanéis(Ensino&Informação)

ensinoeinformacao - Os Inteiros: Anel Comutativo com Unidade

 

Publicado em 19 de dez de 2015

O Conjunto dos Números Inteiros Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} munido com duas Operações Internas a Adição (+) e a Multiplicação (.) é o Exemplo Clássico de Anel Comutativo com Unidade. Começamos a abordagem Mostrando que o Conjunto dos Números Naturais N = {1, 2, 3,. ..} não possui Elemento Simétrico com respeito à Operação de Adição, isto é a Equação x + 2 = 3 Não Possui Solução em N - nesta mesma linha de pensamento, podemos ver que N não possui Elemento Simétrico ou seja, dados n, m ∈ N, não existe solução para n+m = 0 (n teria que ser o simétrico de m e vice-versa). Aí entra a questão de se ampliar N adicionando os Números Negativos e o Zero para obtermos o Conjunto Z dos Números Inteiros e aí possuindo uma Estrutura Algébrica de Anel além disso de Anel Comutativo com Unidade.

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ensinoeinformacao - Os Inteiros: Anel Comutativo com Unidade

 

Publicado em 20 de dez de 2015

Em Breve estaremos dando uma Explanação mais Detalhada, Aguardem!.

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ensinoeinformacao - Dos Números Naturais aos Complexos - Mudança de Paradigma

 

Publicado em 28 de mar de 2016

Por quê foram criados os N, , Z, Q, R e C?

 

 

 

OBSERVAÇÃO: No instante 31:27minutos falou-se que os Números "Pi" e "Raiz Quadrada de 3" são Irracionais. Tudo bem, mas entenda-se que somente "Pi" aí no caso ele é Transcendente, ou seja não é Algébrico porque não é Raiz de um Polinômio com Coeficientes Inteiros (e/ou Racionais - porque sempre se pode tirar Mínimo Múltiplo Comum e deixar os Coeficiente na Forma de um Número Inteiro). Observe-se que “Raiz Quadrada de 3” é Algébrico, pois, este Número Irracional é Raiz do Polinômio (e/ou Equação Polinomial) com Coeficientes Inteiros x²-3=0 - equivalentemente, sendo Número Algébrico ele pode ser Construído usando Somente Régua (não Graduada) e Compasso!

 

ERRATA: Aos 22:05minutos escrevemos que o Conjunto dos Números Racionais leva o nome de "Q" porque é construído através de uma Relação de Equivalência em QxQ/Q. 
Corrija-se isto colocando: é uma Relação de Equivalência de ZxZ/Z, onde Z é o Conjunto dos Números Inteiros: dois pares Ordenados (a,b) e (c,d), com a, b, c, e d ∈  Z, são Equivalentes, ou seja, pertencem a mesma Classe de Equivalência, se e somente se, a.d=b.c.

 

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ensinoeinformacao - Números Algébricos e Transcendentes - Construção com Régua e Compasso

 

Publicado em 31 de mar de 2016

Números Algébricos e Transcendentes - Construção com Régua e Compasso.

Em Matemática, um Número Algébrico é qualquer Número Real ou Complexo que é Solução de Alguma Equação Polinomial com Coeficientes Inteiros (ou Racionais, pois sempre dá para tirar o Mínimo Múltiplo Comum e colocar os Coeficientes na Forma de Número Inteiro). Em um sentido mais amplo, diz-se que um Número é Algébrico sobre um Corpo quando ele é Raiz de um Polinômio com Coeficientes neste Corpo sendo o Grau do Polinômio Maior ou Igual a 1 (um).

 

Todos os Números Racionais são Algébricos porque qualquer Fracção do tipo a/b é solução de bx-a=0 (Equação Polinomial de Grau igual a 1). Alguns Números Irracionais como √2 é, também, Algébricos, porque é a solução de x²-2=0. Mas nem todos os reais são algébricos – como exemplo refiram-se "π e "e" (Base do Logaritmo Neperiano). Um Número Real ou Complexo NÃO Algébrico dá-se o nome de Número Transcendente, por Dicotomia. Em particular um Número Transcendente NÃO pode ser colocado sob a Forma de Fração a/b, onde a,b ∈ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} o Conjunto dos Números Inteiros.

 

Relembramos neste Vídeo, também, o por quê do Conjunto dos Números Racionais (as Frações) ter o Símbolo "Q" - os Racionais são obtidos pela Relação de Equivalência de ZxZ/Z o Quociente, onde (a,b)≈(c,d) se, e somente se, a.d=b.c. Note-se que aqui não estamos preocupados com a Estrutura Algébrica de Corpo que os Racionais possuem, isto é, não impomos que b e d seja diferentes de ZERO. Existe, porém outra forma de definir Q como um Corpo das Frações considerando então Z como um Anel Comutativo com Unidade o "1" (e por conseguinte todo número b em Q possui Inverso Multiplicativo). Considera-se que Z é um Domínio de Integridade e que assim vale a lei do Cancelamento na Operação Interna de Multiplicação. A Relação de Equivalência é obtida no momento em que se define as operações: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e (a,b).(c,d)=(ac,bd) tal como se Soma-se e Multiplica-se Frações, respectivamente. Aí, no caso deve-se considerar b e d diferentes ZERO. Daí resulta, é claro,  que (a,b)≈(c,d) se, e somente se, a.d=b.c.

Historicamente, os egípcios criaram um novo número: o Número Fracionário. Ele era representado com o uso de Frações, porém os Egípcios só entendiam a Fração como uma Unidade (ou seja, Frações cujo Numerador é igual a 1).

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ensinoeinformacao - Raízes da Unidade - Grupo Cíclico

 

Publicado em 28 de mar de 2016

Dentro Área de Álgebra (Estruturas Algébricas) estudaremos as Raízes n-ésimas da UNIDADE "1". Veremos que o Conjunto destas Raízes, para cada n fixo, constitui um Grupo Cíclico quando considerada a Operação de Multiplicação nos Complexos. 

Lembrando que o Corpo dos Complexos é Fechado, isto é, toda Equação Polinomial com Coeficientes em ℂ = Complexos tem todas as Raízes neste Corpo ℂ.

É fácil identificarmos que é um Grupo depois de construída a Tabela de Multiplicação em que em cada linha e coluna aparece cada Raiz apenas uma vez. 

Também é fácil de reconhecermos que é um Grupo Cíclico uma vez que as n-ésimas Raízes da Unidade 1 têm uma Forma Polar (Fórmula de Moivre) e na Forma Exponencial "o número Neperiano e elevado a 2kπi/n" de maneira que quando fazemos " 2kπi/n elevado a n" resulta em 1.

Como todo Grupo Cíclico vemos que ele é, também,  um Grupo Comutativo.

 

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ensinoeinformacao - Cardinalidade: Hipótese do Contínuo

 

Publicado em 04 de nov de 2016

Teorema muito Bonito mostra que NÃO existe nenhum Conjunto H com C ⊂ H ⊂ C, tal que #H ≠ #ℚ ou que #H ≠ #ℝ. isto é mostrado por Redução ao Absurdo admitindo que exista uma Função Injetora g:H→ℝ (ou g:ℚ→H), ou seja de que #H < #ℝ e acaba a DEMONSTRAÇÃO mostrando-se que g deve ser SOBREJETORA o que levaria a que #H = #ℝ uma Contradição. Esta é a Hipótese do Continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:
Não existe nenhum Conjunto com Cardinalidade Maior do que a Cardinalidade dos Números Racionais e com Cardinalidade Menor do que a Cardinalidade do Números Reais.

Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

 

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Cardinalidade: Hipótese do Contínuo

ensinoeinformacao - Conjuntos Enumeráveis e NÃO Enumeráveis

 

Publicado em 10 de out de 2016

Cardinalidade ou Número Cardinal:

 

Na matemática, a cardinalidade de um conjunto é uma medida do "número de elementos" do conjunto. Por exemplo, o conjunto A={2,4,6} contém 3 elementos e por isso possui Cardinalidade # = 3.

 

Mais precisamente, a Definição de Cardinalidade não Intrínseca a um Conjunto. É uma Definição onde são comparados Conjuntos. E dizemos que dois Conjuntos A e B têm a mesma Cardinalidade se, e somente se, existir uma um Função Bijetora (Injetora e Sobrejetora) f:A →B. Assim, dois Conjuntos M e N Finitos  contendo "n" Elementos têm a mesma Cardinalidade se, e somente se, #M = #N = n, isto é, se estes dois conjunto têm o mesmo Número de Elementos n. 

 

Os Conjuntos dos Números Naturais ℕ; Conjunto dos Números Inteiros ℤ; e o Conjunto dos Números Racionais ℚ têm a mesma Cardinalidade denotada por (# = 2 elevado a N). 

Por outro lado, o Conjunto dos Números Reais ℝ e Números Complexos ℂ e qualquer Intervalo da Reta têm a mesma Cardinalidade de notada por "C" a Cardinalidade do CONTÍNUO.

 

Teorema muito Bonito mostra que NÃO existe nenhum Conjunto H com C ⊂ H ⊂ C, tal que #H ≠ #ℚ ou que #H ≠ #ℝ. isto é mostrado por Redução ao Absurdo admitindo que exista uma Função Injetora g:H→ℝ (ou g:ℚ→H), ou seja de que #H < #ℝ e acaba a DEMONSTRAÇÃO mostrando-se que g deve ser SOBREJETORA o que levaria a que #H = #ℝ uma ContradiçãoEsta é a Hipótese do Continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:
Não existe nenhum Conjunto com Cardinalidade Maior do que a Cardinalidade dos Números Racionais e com Cardinalidade Menor do que a Cardinalidade do Números Reais.

Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

 

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Cardinalidade 

ensinoeinformacao - Número de Subconjuntos de um Conjunto Finito - Como Determinar?

 

Publicado em 11 de out de 2016

Esta Vídeo Aula tem por objetivo mostrar como Determinar o Número de Subconjuntos de um Conjunto Finito contendo n Elementos. Para isso, utilizaremos o Binômio de Newton e a solução para este problema é imediata através da Soma dos Coeficientes Binomiais que dá o resultado desejado!

 

Lembrando, da Análise Combinatória, que o Número de Combinações de n Elementos tomados k a k é dado por:
C m,k = n!/k!(n-k)!

 

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Número de Subconjuntos de um Conjunto Finito - Como Determinar?

ensinoeinformacao - Definição

 

Publicado em 20 de out de 2015

Espaço Vetorial V sobre um Corpo K é um Tópico que faz parte da Disciplina Álgebra Linear. No Vídeo anterior demos uma noção de Corpo K. Neste outro Vídeo, agora, daremos a Definição do que se deve entender como um Espaço Vetorial o qual é um caso particular de uma Estrutura denominada de K-Módulo dentro da Disciplina de Álgebra (Estruturas Algébricas). Na Aula seguinte vai ser dado ênfase a Definição de Subespaços Vetoriais e Exemplos de Espaço Vetorial e seus correspondentes Subespaços... Nossa Revista no Facebook é a

 

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ensinoeinformacao - Espaço Vetorial: Introdução (Corpos)

 

Publicado em 06 de out de 2015

Ensino&informação: Esta Vídeo Aula trata do Tópico Espaço Vetorial V sobre um Corpo K. Este tópico faz parte da Disciplina Álgebra Linear (Matemática Pura). Neste Vídeo damos uma Introdução para falar especificamente do que deve ser entendido sobre um Corpo K que é uma Estrutura Matemática dentro da Disciplina Álgebra (Estruturas Algébricas). Não obstante, Um Espaço Vetorial sobre um Corpo K (+ , .) é um caso particular de um K-Módulo visto na Disciplina Álgebra (Estruturas Algébricas). Também um Espaço Vetorial Topológico além da Topologia inerente a sua Definição parte da Hipótese ou Axioma de que as Operações (+) e (.) definidas, respectivamente, por funções f:K x K → K, f(a,b) = a+b e; g:K x K → K, g(a,b) = a.b sejam Contínuas. Outros autores exigem, ainda, que este Espaço Vetorial Topológico seja de Hausdorff. Outros autores exigem, ainda, que a função F:K → K, F(x) = x expo (-1) = 1/x, x diferente de ZERO, seja Contínua...

 

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Espaço Vetorial: Introdução - Corpos  Ensino&Informação

ensinoeinformacao - Ensino&Informação - Revista: Determinate de uma atriz 4x4

 

Publicado em 08 de ago de 2016

Nesta Vídeo Aula estaremos mostrando como se calcula o Determinante de uma Matriz Quadrada de ordem 4x4. Para calcular este determinante, estaremos utilizando o Método do Menor Cofator que consiste em: Escolhida uma Linha ou Coluna que contenha o maior número de ZEROS e aplicada uma Expressão que implica em se calcular 4 sub-Determinantes de ordem Matrizes 3x3 usando a mesma Expressão e que no final se calcula para cada Matriz 3x3 mais 3 determinantes de Matrizes 2x2 - Neste Método se vai reduzindo a Ordem da Matriz dada até sub-Matrizes de Ordem 2x2. Isto significaria, no PIOR CASO onde a Matriz dada não apresenta nenhum ZERO, que estaremos calculando 4x3=12 Determinantes de Matriz 2x2, isto se não utilizarmos o Método de SARRUS para as sub-Matrizes 3x3!

Observação: O Cálculo de um Determinante 4x4, por exemplo, já é trabalhoso na Prática, pois exige Tempo e Espaço de Memória para o cálculo dos sub-determinantes envolvidos!


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Determinate: Matriz 4x4

ensinoeinformacao - O que é e como Calcular? Matrizes 1x1; 2x2; e 3x3

 

Publicado em 23 de ago de 2016

Esta Vídeo Aula faz parte de um Curso tratando sobre determinante. Existe um Roteiro no Início de Cada Vídeo Aula para assegura a continuidade linear das demais Vídeo Aulas. Esta Vídeo Aula, em específico, tem o objetivo de definir o Determinante para Matriz Unitária, Matriz 2 x 2 e Matriz 3 x 3. O contexto é pertinente a Alunos do Ensino Médio, ou seja, de 2º. Grau. 

 

Posteriormente em outras Vídeo Aulas, iremos avançando nas Definições e Propriedades até termos o determinante como uma Função Multilinear...

A Teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos de resolução de Sistemas de Equações Lineares. O determinante de uma matriz consiste em associar à cada matriz quadrada A = [aij]nxn um número real, denotado por det A ou IAI, que satisfaz as propriedades: 

 

1. Se B é obtida de A permutando-se duas linhas (ou colunas) então det B – det A; 

 

2. Se uma das linhas (colunas) da matriz A é combinação linear das demais então det A – 0 (ZERO); 

 

3. det I = 1, onde I é a matriz identidade. Se a matriz A tem ordem n = 1, então det I = a11. No caso de n = 2, det A = a11.a22 – a12.a21 e no caso n = 3 o cálculo pode ser obtido pela Regra de Sarrus. 

 

Para cálculo de determinante de uma matriz de ordem n maior que 3 utilizamos um dos processos: definição (n=2) ou Sarrus (n=3); o processo do Menor Cofator; ou o método mais complicado dado pelo Teorema de Laplace e quanto maior a ordem da matriz, maior é o trabalho para o cálculo do determinante. O objetivo destas Vídeo Aulas sobre DETERMINANTES é o de apresentar o determinante como uma Função Multilinear e Alternada tal que det I = 1 e, além disso, mostrar que esta função coincide com o determinante já conhecido pelos alunos desde o 2º. Grau. Para isso, utilizaremos conceitos de Álgebra Linear. Finalmente comparando com o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n maior que 3 utilizando o Teorema de Laplace e através da definição apresentada para n = 2 e para n=3, verifica-se o quanto é mais simples o cálculo do determinante neste segundo processo.


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Determinante

ensinoeinformacao - Todo Corpo é Espaço Vetorial sobre si mesmo - Corpos Finitos - Aula 02

 

Publicado em 18 de Jun de 2018

Em Estruturas Algébricas, um K-Módulo (onde K é um Anel e, mais geralmente, um Corpo Finito ou Infinito) é uma generalização de Espaço Vetorial que é visto em Álgebra Linear. 
Exemplo, R é um R-Módulo!

 

 

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Todo Corpo é Espaço Vetorial sobre si mesmo - Corpos Finitos - Aula 02

ensinoeinformacao - Todo Corpo é Espaço Vetorial sobre si mesmo!

 

Publicado em 10 de Jun de 2018

Em Estruturas Algébricas, um K-Módulo (onde K é um Anel e, mais geralmente, um Corpo Finito ou Infinito) é uma generalização de Espaço Vetorial que é visto em Álgebra Linear. 
Exemplo, R é um R-Módulo!

 

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Todo Corpo é Espaço Vetorial sobre si mesmo - Aula 01

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ensinoeinformacaoO QUE É UMA RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - AULA 03

 

Publicado em 10 de Dez de 2018

(Aula 03) Um tipo especial de Relação de um Conjunto a em si mesmo. Esta Relação deve obedecer três propriedades!


(Lesson 03) A special type of Relationship of a Set to itself. This relationship must obey three properties!

 

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Ensino&Informação: O QUE É UMA RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - AULA 03

ensinoeinformacaoO QUE É PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - AULA 04

 

Publicado em 06 de Jan de 2018

(Aula 04) É dada a Definição de Partição de um Conjunto X e é mostrada a ligação com a Definição de Relação de Equivalência neste mesmo conjunto X. São dois Conceitos (ou Definições) EQUIVALENTES! Os conjuntos que compõe a Partição são exatamente as Classes de Equivalência da Relação de Equivalência em questão!!


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Ensino&Informação: O QUE É PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - AULA 04

ensinoeinformacaoO QUE É UMA RELAÇÃO DE ORDEM EM UM CONJUNTO - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - AULA 05

 

Publicado em 12 de Jan de 2018

(Aula 05) Trataremos de dar a Definição e Exemplos (e Contra-Exemplo) de Relação de Ordem em um Conjunto X ≠ Ø a qual deve satisfazer três (3) Propriedades!


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Ensino&Informação: O QUE É UMA RELAÇÃO DE ORDEM EM UM CONJUNTO - DEFINIÇÃO E EXEMPLOS - AULA 05

ensinoeinformacaoCONJUNTO ORDENADO E CONJUNTO NÃO ORDENADO - AULA 06

 

Publicado em 18 de Jan de 2018

(Aula 05) ERRATA: No instante 22:37 minutos, nós dissemos: "Não existe x.....". Aí nós nos expressamos mal, pois o CORRETO é dizer que num Corpo Ordenado NÃO DEVE EXISTIR x tal que x² venha ser NEGATIVO... E em C o Corpo dos  Complexos existe sim x tal que x² = -1 que é sempre NEGATIVO!

 

Apresentamos nesta Aula exemplos de Conjuntos que possuem uma Relação de Ordem (Definição vista na Aula 05) e exemplos de Conjunto que não comportam uma Relação de Orem!


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Ensino&Informação: CONJUNTO ORDENADO E CONJUNTO NÃO ORDENADO  - AULA 06

ensinoeinformacaoCONJUNTO PARCIALMENTE ORDENADO E CONJUNTO TOTALMENTE ORDENADO - Aula 07

 

Publicado em 20 de Fev de 2018

(Aula 07) Apresentamos a Definição de Conjunto Parcialmente Ordenado e de Conjunto Totalmente Ordenado. Exemplos para ambos os casos são dados!

Aulas Anteriores na sequência:
Aula 01 - RELAÇÃO;
Aula 02 - FUNÇÃO;
Aula 03 - RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA;
Aula 04 - PARTIÇÃO EM UM CONJUNTO;
Aula 05 - RELAÇÃO DE ORDEM EM UM CONJUNTO;
Aula 06 - CONJUNTO ORDENADO E CONJUNTO NÃO ORDENADO


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Ensino&Informação: CONJUNTO PARCIALMENTE ORDENADO E CONJUNTO TOTALMENTE ORDENADO - Aula 07

ensinoeinformacaoNÚMEROS CONSTRUTÍVEIS: Introdução (PARTE 01)

 

Publicado em 18 de Jan de 2018

(Aula 01 - Parte 01) É dada a Definição de Número Construtível no Contexto da Disciplina Desenho Geométrico e exemplos de Construções de tais números são feitas dados usando-se Régua (não Graduada) e Compasso!

Na próxima Vídeo Aula (Parte 02) trataremos do assunto, mas no Contexto da Teoria dos Corpos visto em Álgebra (Estruturas Algébricas)... Aguardem!

 

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Ensino&Informação: NÚMEROS CONSTRUTÍVEIS: Introdução (PARTE 01)

ensinoeinformacao - RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA - CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS - AULA 08 de 08

 

Publicado em 04 de Ago de 2019

(Aula 08) O Conjunto dos Números Racionais "Q" (das Frações) obtido a partir de uma Relação de Equivalência! A letra Q é devido ao Quociente de ZxZ/Z (das Classes de Equivalências) onde Z é o Conjunto dos Números Inteiros.

Aulas Anteriores na sequência:
Aula 01 - RELAÇÃO;
Aula 02 - FUNÇÃO;
Aula 03 - RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA;
Aula 04 - PARTIÇÃO EM UM CONJUNTO;
Aula 05 - RELAÇÃO DE ORDEM EM UM CONJUNTO;
Aula 06 - CONJUNTO ORDENADO E CONJUNTO NÃO ORDENADO;
Aula 07 - CONJUNTO PARCIALMENTE ORDENADO E CONJUNTO TOTALMENTE ORDENADO.

 

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(Ensino&Informação)

 RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA - CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS - AULA 08 de 08

ensinoeinformacaoMATRIZES - MATRIZ COMUTATIVA, UM DESAFIO - (Translated to English!)

 

Publicado em 320 de Jan de 2020

Um Desafio onde você está sendo convidado a encontrar a Solução para o Problema proposto. Este problema não acreditamos que esteja em algum livro. Assim você terá a oportunidade de ampliar seus conhecimentos e habilidade para Demonstrações. Você pode nos enviar por e-mail ou se possível der colocar a Solução do problema nos Comentários. O meu e-mail particular (temos um da Revista Ensino&Informação: altamiraraldi@hotmail.com

 

Temos um Vídeo com o Título: MATRIZES - Um Anel Não Comutativo: https://youtu.be/O_jf4XYV2Ks

 

Temos um outro Vídeo com o Título: Por que NÃO Vale a Lei do Cancelamento para a Multiplicação de Matrizes ? https://youtu.be/Khi6lGyC6d0

 

Temos um outro Vídeo com o Título: ÁLGEBRA LINEAR - SUBESPAÇO VETORIAL DAS MATRIZES QUADRADAS 2 x 2 https://youtu.be/PQg97nZaPUY

 

Temos um outro Vídeo com o Título: ÁLGEBRA LINEAR - SUBESPAÇO VETORIAL DAS MATRIZES QUADRADAS 2 x 2


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Ensino&Informação: MATRIZES - MATRIZ COMUTATIVA, UM DESAFIO - (Translated to English!)

ensinoeinformacao - Significado Algébrico da Inversa de uma Função - Composição de Funções

 

Publicado em 03 de Ago de 2020

O que se deve entender por Inversa de uma Função. Isto é, qual é o Significado Algébrico relacionado a parte de Composição de Funções? O que duas funções precisam satisfazer para que uma seja inversa da outra? E qual é o papel de uma Função Identidade neste Contexto?

 

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Significado Algébrico da Inversa de uma Função - Composição de Funções

ensinoeinformacao - RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA - EXERCÍCIO 01

 

Publicado em 11 de Out de 2020

Esta Vídeo Aula é dedicada ao Pablo que nos enviou este EXERCÍCIO por E_MAIL.

 

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RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA - EXERCÍCIO 01

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ensinoeinformacao - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | ANEL DE INTEGRIDADE - EXERCÍCIO 01

 

Publicado em 15 de Out de 2020

Seja A Anel de Integridade e a²=1, para todo a pertencente a A, então a=1 ou a=-1. Sugerido pelo André Fernando que nos enviou por WhatsApp! Dê um contra-exemplo: Contra-exemplo fica para vocês. peguem o Anel das Matrizes que não é de Integridade: Um Anel Não-Comutativo e tem Unidade I a Matriz Identidade. Aí neste Anel tem-se muitas Anomalias justamente por não ser Comutativo e muito menos de Integridade... Não vale a lei do Cancelamento da Multiplicação. Veja os Vídeos:

1) Por que NÃO Vale a Lei do Cancelamento para a Multiplicação de Matrizes? https://youtu.be/Khi6lGyC6d0

2) MATRIZES - Anel Não Comutativo: https://youtu.be/O_jf4XYV2Ks

 

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ensinoeinformacao - ÁLGEBRA | ANEL DAS MATRIZES - EXERCÍCIO DESAFIO

 

Publicado em 18 de Out de 2020

Um desafio onde você está convidado a Resolver o Exercício Proposto e nos enviar a Solução para meu E_MAIL particular: altamiraraldi@hotmail.com

 

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ÁLGEBRA | ANEL DAS MATRIZES - EXERCÍCIO DESAFIO

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