MATEMÁTICA PURA

Disciplina: Álgebra (Estruturas Algébricas)

MATEMÁTICA PURA

Homomorfismo e Isomorfismo

Homomorfismo entre duas Estruturas Matemática (Algébricas) é uma função que preserva estas Estruturas, isto é, função. Um Isomorfismo é um Homomorfismo Bijetor, isto é, a Função é Inversível e neste caso a Inversa também é um Homomorfismo! OBS: Diferente de Momeomorfismo que, pela definição em Topologia e/ou Espaços Métricos, a Inversa sempre é um Homeomorfismo - Função Contínua com Inversa Contínua!

Na Álgebra Abstrata (Estruturas Algébricas), um isomorfismo[1] é um homomorfismo[2] bijetivo. Duas estruturas matemáticas são ditas isomorfas se há um mapeamento bijetivo entre elas.

Essencialmente, dois objetos são isomorfos se eles são indistinguíveis dado apenas pela seleção de sua característica, e isomorfismo é o mapeamento entre objetos que mostra um relacionamento entre duas propriedades ou operações.

Na Teoria das Categorias, um isomorfismo é um morfismo f: X → Y em uma categoria para a qual existe "inversa"                     , com a propriedade de que ambas                                      Identidade em X e Identidade em Y.

f o f-1  e f-1 o f = Identidade.png
F na -1.png
Índice.png

Propósito

Isomorfismos são estudados na matemática para estender conhecimentos de uns fenômenos para outros: se dois objetos são isomorfos, então qualquer propriedade que é preservada por um isomorfismo e que é verdade para um dos objetos, também é verdade para o outro objeto. Se um isomorfismo pode ser encontrado de uma parte desconhecida da matemática em alguma área bem estudada da matemática, onde muitos teoremas já foram provados e muitos métodos já estão disponíveis para encontrar respostas, então a função pode ser usada para mapear os problemas da área desconhecida para uma área onde os problemas são facilmente entendidos e trabalhar com eles.

Exemplos práticos

Os seguintes exemplos são de isomorfismos da Álgebra Linear.

  • Considere a função logaritmo: Para qualquer base b fixada, a função logaritmo logx mapeia dos números reais positivos       sobre os números reais        formalmente:

b

R.png
R+.png

,

d.png

,

Logo YouTube pequeno.png

Vídeo Aula

isto é, o Máximo Divisor Comum MDC(m,n) =1.

ccc.png
Logo YouTube pequeno.png
Logo YouTube pequeno.png
Logo YouTube pequeno.png

Vídeo Aula

Vídeo Aula

Vídeo Aula

ddddd.png
Logo YouTube pequeno.png
eeee.png
fff.png
ggg.png

Referências

  1. Do Gregoἴσος isos "equal", and μορφή morphe "shape"

  2. Buchmann, Johannes (2004). Introduction to cryptography. [S.l.]: Springer. p. 54. ISBN 9780387207568

  3. Awodey, Steve (2006). «Isomorphisms». Category theory. [S.l.]: Oxford University Press. p. 11. ISBN 9780198568612

  4. Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). A Course in Algebra. [S.l.]: American Mathematical Society. p. 3. ISBN 9780821834138

  5. (Mazur 2007)

Ler mais

Ligações externas

Símbolo_Logo_PDF.png

  A partir de 17 Jul de 2021

Você é o Visitante de Número